定义与基本概念
酉群 \(U(n)\) 是所有 \(n \times n\) 酉矩阵构成的群，即满足 \(U^{\dagger}U = I\) 的复矩阵 \(U\)，其中 \(U^{\dagger}\) 代表 \(U\) 的共轭转置。射影酉群 \(PU(n)\) 则是通过将酉群中所有乘以标量\(e^{i\theta}\)的矩阵等同起来形成的。这意味着 \(PU(n)\) 考虑的是在相差一个全局相位因子下等价的酉变换。
结构与性质
射影酉群 \(PU(n)\) 在数学和物理学中都具有重要的作用。它保留了\(U(n)\)的部分重要性质，同时又剔除了与全局相位相关的信息。以下是其主要性质：
- 拓扑性质: \(PU(n)\) 是紧致李群。其拓扑结构与\(U(n)\)密切相关，但两者并非同胚。
- 应用: \(PU(n)\) 在量子力学中至关重要，因为量子态的物理意义只依赖于态矢量的射影，即全局相位无关。量子态的演化由酉算子描述，而射影酉群可以用来描述这种演化的对称性。
- 表示理论: \(PU(n)\) 的表示理论与 \(U(n)\) 的表示理论紧密相关，但也有一些差异。例如， \(U(n)\) 有一维的表示，但 \(PU(n)\) 没有。
与量子力学的联系
在量子力学中，量子态通常用希尔伯特空间中的向量来表示。然而，物理可观测量并不依赖于态矢量的全局相位。换句话说，如果两个态向量只相差一个常数因子，它们就代表同一个量子态。因此，描述量子力学系统中的对称性时，用射影酉群比酉群更合适。例如，自旋为1/2的粒子的旋转对称性可以用\(SU(2)\)描述，其射影表示是\(SO(3)\)，后者描述了真实空间的旋转。
射影酉群的这种特性使得它成为研究量子系统对称性的有力工具。通过考虑射影酉群，物理学家可以更好地理解量子系统的内在对称性，并简化量子力学计算。
结论
射影酉群是酉群在数学和物理学中的重要拓展，尤其在量子力学中具有关键作用。它通过消除全局相位因子，提供了更精确的量子态描述，并简化了量子系统对称性的分析。理解射影酉群的结构、性质及其与物理学的联系，对于深入理解量子力学至关重要。