基本概念
挠率张量通常与黎曼联络（也称为列维-奇维塔联络）相关联。黎曼联络描述了在曲面上平行移动向量的方式，而挠率则衡量了这种平行移动过程中向量的旋转程度。挠率本质上捕捉了坐标系相对于曲线的“扭曲”，这与曲率的概念有所不同，曲率描述的是曲线自身的弯曲程度。
数学定义
在数学上，挠率张量是一个(1,2)型的张量，通常用T表示。它定义为：
T(X, Y) = ∇XY – ∇YX – [X, Y]
其中，X和Y是切向量场的向量，∇是联络，[X, Y]是X和Y的李括号。当挠率张量为零时，联络是对称的，这意味着∇XY – ∇YX = [X, Y]，表明联络是无挠的。挠率不为零的情况，则意味着参考标架在沿着曲线移动时会发生旋转。
几何意义
挠率的几何意义在于它描述了曲线在空间中扭曲的程度。如果挠率非零，则意味着参考标架在沿着曲线平行移动时，会发生旋转。这与在欧几里得空间中的直线不同，在欧几里得空间中，平行移动的向量不会发生旋转。在三维欧几里得空间中，挠率是曲线的一种内在性质，它描述了曲线的“螺旋”或“缠绕”程度。对于曲面来说，挠率与曲面的整体几何结构密切相关。
应用
挠率张量在许多领域都有应用。在物理学中，特别是在广义相对论和弦理论中，挠率被用来描述时空的几何性质，并研究引力对物质的影响。在材料科学中，挠率可以用来描述材料的微观结构和变形特性。在计算机图形学中，挠率可以用于对曲面和曲线进行建模和处理。总之，挠率是一个重要的数学工具，可以用来研究各种几何对象和物理现象。
结论
挠率张量是微分几何中的一个基本概念，它描述了参考标架绕曲线的扭曲或旋转。虽然挠率的数学定义可能看起来复杂，但其几何意义在于它揭示了空间中曲线和曲面的内在性质。了解挠率对于理解许多物理和数学问题至关重要。它是深入理解几何结构和物理现象的关键。