基本概念
库尔卡尼-野泽积，通常记作“∧”，是作用于对称二阶张量的运算。给定两个对称二阶张量， A 和 B，它们的库尔卡尼-野泽积 A ∧ B 仍然是一个四阶张量，其结果定义为两个二阶张量的某种特定的组合。这个运算的一个关键性质是，当应用于度量张量时，它保持了某些几何结构。
定义和性质
对于两个对称二阶张量 A 和 B，它们的库尔卡尼-野泽积 A ∧ B 可以通过以下公式定义（在局部坐标系下，其中 i, j, k, l 表示指标）：
(A ∧ B)ijkl = AikBjl + AjlBik – AilBjk – AjkBil
库尔卡尼-野泽积具有一些重要的性质：
- 对称性: 如果交换 A 和 B，结果不会改变：A ∧ B = B ∧ A.
- 双线性性: 对于任何常数 c, c(A ∧ B) = (cA) ∧ B = A ∧ (cB).
- 零积: 如果 A 或 B 为零张量，则 A ∧ B 也为零张量。
应用
库尔卡尼-野泽积在微分几何中有着广泛的应用，特别是在黎曼几何的研究中。以下是一些例子：
- 黎曼曲率张量: 黎曼曲率张量本身可以被视为度量张量与其自身的库尔卡尼-野泽积的一个线性组合，这表明了其与度量张量的紧密联系。
- 爱因斯坦张量: 爱因斯坦张量可以被分解成度量张量及其库尔卡尼-野泽积，这在广义相对论中非常重要。
- 构造新的几何对象: 库尔卡尼-野泽积可以用来构造新的几何对象，如 Weyl 张量，这些对象有助于研究空间的局部几何性质。
与外微分形式的关系
虽然库尔卡尼-野泽积直接作用于对称二阶张量，但它也与外微分形式有密切的联系。例如，它可以用于构建与微分形式相关的各种曲率。这种联系有助于将库尔卡尼-野泽积应用于更广泛的几何问题。
结论
库尔卡尼-野泽积是微分几何中一个强大的工具，它提供了一种构造和分析几何对象的方法。 它在黎曼几何、广义相对论和其他几何领域中都有重要的应用。理解库尔卡尼-野泽积及其性质，有助于深入研究各种几何结构和理论。