定义与性质
设 (X, Σ, μ) 是一个测度空间，其中 X 是一个集合，Σ 是 X 的一个 σ-代数（包含 X 的子集的集合），μ 是一个测度函数，将 Σ 中的每个集合映射到一个非负的实数。如果存在一个有限的非负实数 C，使得对于 Σ 中的所有集合 A，都有 μ(A) ≤ C，那么测度 μ 称为有限测度。 换句话说，有限测度意味着整个空间 X 的测度 μ(X) 是一个有限值。
有限测度具有一些重要的性质：
- 单调性： 如果 A 和 B 是 Σ 中的集合，且 A ⊆ B，那么 μ(A) ≤ μ(B)。
- 可加性： 如果 {Ai} 是 Σ 中的一个互不相交的集合序列，那么 μ(∪i Ai) = Σi μ(Ai)。
- 连续性： 如果 {An} 是 Σ 中的一个单调递增的集合序列，即 A1 ⊆ A2 ⊆ …，那么 μ(∪n An) = limn→∞ μ(An)。
应用
有限测度在许多领域都有应用。在概率论中，概率测度就是一种有限测度，其中整个样本空间的测度为 1。这使得概率论能够描述随机事件发生的可能性。在积分论中，有限测度可以用来定义和研究积分。Lebesgue 积分使用测度论的概念，而有限测度为定义可积函数提供了基础。
一个重要的例子是概率空间。 在概率空间 (Ω, F, P) 中， Ω 代表样本空间， F 代表事件的 σ-代数， P 是概率测度。由于 P(Ω) = 1，概率测度 P 是一种有限测度。其他重要的应用包括在泛函分析中研究线性算子和在金融数学中构建期权定价模型。
有限测度与σ-有限测度
与有限测度相关的另一个重要概念是 σ-有限测度。如果一个测度空间 (X, Σ, μ) 可以表示为可数个测度有限集合的并集，那么测度 μ 称为 σ-有限测度。换句话说，存在可数个集合 {Ei} ⊆ Σ，使得 X = ∪i Ei 且 μ(Ei) < ∞ 对于所有 i。显然，任何有限测度都是 σ-有限的，但反之则不一定成立。例如，实数集上的 Lebesgue 测度是 σ-有限的，但不是有限的，因为其测度是无穷大。
结论
有限测度是测度论中一个核心的概念，它确保了可测集合的测度是有界的。它为概率论、积分论和泛函分析等领域提供了重要的基础。理解有限测度的定义、性质和应用，对于深入研究这些数学分支至关重要。