定义
一个测度空间 (X, Σ, μ) 被称为 σ-有限的，如果存在 Σ 中的一个可数集合 {Ei}i=1∞，使得 X = ∪i=1∞ Ei，并且对于所有 i，μ(Ei) < ∞。换句话说，X 可以被分解成可数个测度有限的集合的并集。
性质
σ-有限性是测度论中的一个重要概念，因为它允许我们将有限测度的许多结果推广到更一般的测度。例如：
- 完备性： 任何 σ-有限测度空间都可以被完备化。
- Radon-Nikodym 定理： 在 σ-有限测度空间上，如果一个测度绝对连续于另一个测度，那么存在一个 Radon-Nikodym 导数，可以用来表示一个测度相对于另一个测度的密度。
- 积分的性质： 许多关于积分的性质，例如Fubini定理和Tonelli定理，都对 σ-有限测度成立。
σ-有限性也确保了测度的某些行为是“良好”的。例如，如果一个测度不是 σ-有限的，那么它可能具有一些病态的性质，例如难以积分或无法进行适当的分解。
例子
以下是一些σ-有限测度的例子：
- 勒贝格测度： 实数集 R 上的勒贝格测度是 σ-有限的。我们可以将 R 分解成可数个有限区间，例如 [n, n+1)，其中 n 是整数。每个这样的区间都具有有限的勒贝格测度（等于 1）。
- 离散测度： 对于任何可数集合 X，定义在 X 上的离散测度是 σ-有限的。我们可以将 X 的每个单点 {x} 视为一个测度有限的集合。
- 概率测度： 概率测度总是有限的，因此也是 σ-有限的。
- 并非所有测度都是 σ-有限的： 例如，如果定义在 R 上的测度，对于任何非空集合，其测度都为无穷大，则它不是 σ-有限的。
应用
σ-有限测度在许多数学分支中都有重要的应用，包括：
- 实分析： 在勒贝格积分理论中，σ-有限性对于确保积分的良好行为至关重要。
- 概率论： 在概率论中，概率空间通常是 σ-有限的。这有助于确保许多重要的概率论结果的适用性。
- 统计学： 在统计学中，许多估计和检验方法都基于 σ-有限测度。
结论
σ-有限测度是测度论中的一个核心概念，它允许我们将有限测度的许多有用的结果推广到更广泛的测度。它在实分析、概率论和统计学中都扮演着重要的角色。理解σ-有限性的概念对于深入理解现代数学的许多领域至关重要。