定义和概念
两个测度 μ 和 ν 是奇异的，记作 μ ⊥ ν，如果存在可测集合 A 和 B，满足以下条件：
- A ∪ B = X（其中 X 是整个可测空间）
- A ∩ B = ∅（A 和 B 不相交）
- μ(A) = 0
- ν(B) = 0
直观地说，这意味着μ的支撑集合（即μ不为零的集合）和ν的支撑集合在某种意义上是不相交的。 奇异性是测度论中一个重要的概念，它描述了测度之间的一种“不相容性”。
奇异测度的例子
1. 狄拉克测度： 考虑狄拉克测度 δa，它将质量集中在单个点 a 上。如果 ν 是在 a 点之外处处为零的测度，那么 δa 和 ν 是奇异的。例如，如果 ν 是勒贝格测度（在 R 上），则 δ0 ⊥ 勒贝格测度。狄拉克测度在概率论和物理学中非常重要，它常用于描述理想化的点质量或点电荷。
2. Cantor 测度： Cantor 测度是一个在 Cantor 集上定义的测度。 Cantor 测度是一个奇异的测度，因为它与勒贝格测度奇异，但它并没有在 Cantor 集的补集上集中质量。
奇异测度的重要性
奇异性在测度论中起着至关重要的作用，尤其是在分解定理中。勒贝格分解定理是测度论中一个核心的定理，它指出，任何一个测度都可以分解成两个部分：一个绝对连续部分和一个奇异部分。这个分解对于分析测度性质，特别是分析它们的导数，是至关重要的。它允许我们将测度分解成更容易处理的部分，从而简化了许多分析问题。
奇异测度在许多不同的数学领域都有应用，包括概率论、泛函分析和偏微分方程。例如，在概率论中，奇异测度可以用来描述离散随机变量。在泛函分析中，奇异测度可以用来定义广义函数，例如狄拉克δ函数。在偏微分方程中，奇异测度可以用来描述奇点，比如冲击波等现象。
结论
奇异测度是测度论中一个重要的概念，它描述了测度之间的不相容性。它们在勒贝格分解定理中起着关键作用，并将一个测度分解成绝对连续和奇异两部分。奇异测度在数学的各个领域都有重要的应用，是理解复杂数学现象和解决问题的关键工具。