定义与基本概念
无限二面体群可以被视为一个由两个元素生成的群：一个旋转元素和一个反射元素。通常，我们可以将旋转元素记为 r，代表绕某个固定点的无限小角度的旋转，而反射元素记为 s，代表关于一条穿过该点的直线的反射。群的元素可以表示为 rn 和 srn，其中 n 是一个整数。
具体来说，该群可以表示为群演示 2 = 1, srs = r-1>。这意味着该群由元素 r 和 s 生成，并且满足关系 s2 = 1 和 srs = r-1。第一个关系表明 s 是一个对合（即自身的逆元），第二个关系描述了反射元素 s 和旋转元素 r 之间的相互作用。
性质
无限二面体群具有许多重要的性质。它是一个非阿贝尔群，这意味着群操作的顺序会影响结果。它也是一个无限群，因为其元素数量是无限的。无限二面体群的子群包括循环群 Cn，其中 n 是一个正整数，以及 Z（整数群）。
无限二面体群可以被视为一个拓扑群。这意味着可以在群上定义一个拓扑结构，允许定义诸如连续性和收敛性之类的概念。在无限二面体群的拓扑中，rn 趋近于无穷远。
应用
无限二面体群在许多数学和物理学领域都有应用。例如，它在晶体学中用于描述一维晶体的对称性。它也在几何学中用于描述平面上的对称变换。此外，无限二面体群还在群论的研究中扮演着重要的角色，因为它是群论中一个重要的例子。
此外，它在傅里叶分析中也有应用，因为傅里叶变换可以用于分解在无限二面体群的“空间”上定义的函数。
结论
无限二面体群是一个重要的数学结构，它提供了一个理解无限群行为的强大框架。 它的定义、性质和应用范围广泛，从晶体学到几何学，再到群论和傅里叶分析，都有着不可或缺的作用。 通过研究这个群，数学家可以更深入地了解对称性、群论以及数学中的其他基本概念。