定义
给定一个单纯复形 K 和 K 中一个顶点 v，v 的链接，记作 lk(v, K)，定义为：
- 所有在 K 中，且不包含 v 的单纯形，这些单纯形与 v 共同构成的单纯形都在 K 中。
换句话说，lk(v, K) 是一个由 K 中与 v 相邻的单纯形“边界”组成的单纯复形。通过移除包含 v 的单纯形，并将 v 对应的顶点移除，剩下的部分就构成了链接。
理解链接
可以将链接视为顶点 v 的一个“视界”。例如，如果一个顶点 v 连接到一个边，那么它的链接就是一个没有顶点的空集（或者说一个 -1 维单纯形）。如果一个顶点 v 位于一个三角形的三个顶点上，那么它的链接就是连接另外两个顶点的边。
链接可以提供关于复形局部形状的丰富信息。例如，如果一个顶点的链接是圆，则该点附近的形状类似于一个锥体。 如果一个顶点的链接是球面，则该点附近的形状类似于一个球。
链接的应用
链接在拓扑学和几何学中有着广泛的应用：
- 判断流形性：链接可以用来判断一个单纯复形是否是一个流形。如果一个顶点v的链接同胚于一个球面，那么这个顶点在复形中是局部欧几里得的，这有助于判断整体的流形结构。
- 数据分析：在数据分析中，单纯复形被用于构建数据的拓扑结构，而链接则用于识别数据的局部特征。 例如，在图像处理中，链接可以帮助检测图像中的边缘和角点。
- 计算机图形学：在计算机图形学中，链接可以用于简化模型的几何形状，保留重要的局部特征。
- 组合学：在组合学中，链接提供了研究组合对象（例如图和超图）的工具。
计算方法
计算一个顶点的链接通常涉及以下步骤：
- 确定所有包含该顶点的单纯形。
- 对于每个包含该顶点的单纯形，移除该顶点。
- 将剩下的单纯形边界组成一个新的单纯复形，即为该顶点的链接。
结论
链接是单纯复形理论中一个重要的概念，它提供了对复杂几何对象局部结构的深入理解。 链接在判断流形性、数据分析、计算机图形学和组合学等领域都有广泛应用。 通过研究顶点的链接，我们可以揭示几何对象的关键特征，并构建更强大的分析工具。