定义与基本概念
Chow群的定义始于代数簇上的代数循环。一个代数循环是代数簇的子簇的有限线性组合，系数通常为整数。对于一个代数簇X，维度为k的子簇，我们将这些子簇称为k维的循环。 例如，一个代数曲线是1维的循环，一个代数曲面是2维的循环。
这些循环构成一个阿贝尔群，记为 Zk(X)。为了定义Chow群，我们需要对这个群进行等价关系的处理，即对循环进行某种等价关系的处理。 其中最重要的等价关系是代数等价。
代数等价与Chow群的构造
代数等价关系描述了两个循环之间，可以通过一个参数化的代数族连续变换而产生的关系。 设 X 为一个代数簇， C 为 X × P1 中的一个子簇，且C与X交于两个子簇Y0和Y1，那么称Y0和Y1代数等价。代数等价关系是 Zk(X) 上的一种等价关系。Chow群，记为CHk(X)或Ak(X)，是Zk(X)模去代数等价关系后的商群。
特别地，CH0(X)可以描述零维循环。 Chow群的元素代表代数等价类。 Chow群可以携带环的结构，这来源于循环的交点。 Chow群的结构揭示了代数簇的几何性质，例如，一个代数簇的 Chow 群能反映其连通性、奇异性和其他重要的几何特征。
Chow群的应用
Chow群在代数几何的各个领域都有重要的应用。一个主要的应用是在交点理论中，用于研究子簇之间的交点。通过定义合适的交点乘积，我们可以在Chow群上进行代数运算，例如计算交点数。
Chow群也与K理论密切相关，K理论是代数几何中研究向量丛的工具。Chow群可以提供K理论的结构信息，反之亦然。此外，Chow群还用于研究代数簇的理性等价性。理性等价性研究了两个代数簇之间是否存在有理映射，而 Chow群有助于判断两个代数簇是否满足理性等价的条件。
Chow群与动力学
Chow群在代数几何中，与动力学系统研究密切相关。对于具有某种几何结构的代数簇，我们可以构造其Chow群。通过研究Chow群的结构，我们可以了解对应动力学系统的性质。
具体而言，Chow群可以用来描述代数簇上的循环， 这些循环可以用来表示动力学系统的某些不变量。例如，我们可以用Chow群来研究动力系统中的周期轨道，或者确定动力系统中的一些特殊点。
结论
Chow群是代数几何中一个重要的工具，用于研究代数簇的几何性质。通过对代数簇的子簇进行分类和分析，Chow群提供了对代数簇的深刻理解，并在交点理论、K理论和理性等价性等方面发挥着重要作用。 此外，Chow群在动力系统研究中也起着重要作用，为理解动力系统提供了几何视角。