定义
一个定义在 Rn 上的复值函数 φ 被称为属于施瓦茨空间 S(Rn)，如果 φ 是无穷可微的，并且对于任意多重指标 α 和 β，存在一个常数 Cα,β 使得：
supx ∈ Rn |xα Dβ φ(x)| < Cα,β
其中，α 和 β 分别是多重指标，xα 表示 x1α1 x2α2 … xnαn，Dβ 表示对 φ 求 β 次导数。
重要性质
施瓦茨空间具有许多重要的性质，使其成为一个理想的函数空间。
- 完备性： 施瓦茨空间是完备的，这指的是它包含所有在该空间中收敛的 Cauchy 序列的极限。
- 稠密性： 施瓦茨空间在连续函数空间中是稠密的，这意味着任何连续函数都可以用施瓦茨空间中的函数来逼近。
- 傅里叶变换： 施瓦茨空间在傅里叶变换下是封闭的。这意味着如果一个函数属于施瓦茨空间，那么它的傅里叶变换也属于施瓦茨空间。这使得施瓦茨空间成为傅里叶分析的理想工具。
- 分布理论： 施瓦茨空间是分布理论的基础空间。分布可以被视为在施瓦茨空间上定义的连续线性泛函。
应用
施瓦茨空间广泛应用于数学的多个领域，包括：
- 偏微分方程： 在求解偏微分方程时，施瓦茨空间被用作测试函数空间，用于定义弱解。
- 傅里叶分析： 施瓦茨空间在傅里叶变换的理论中起着核心作用，用于研究信号处理、图像处理等问题。
- 分布理论： 施瓦茨空间是分布理论的基础，分布理论为广义函数的处理提供了数学框架。
结论
施瓦茨空间是一个重要的函数空间，它的良好性质使其成为分布理论和傅里叶分析的理想场所。 它的完备性、稠密性和在傅里叶变换下的封闭性，使得它在数学的许多领域中具有广泛的应用。