问题描述
假设一位名为“美人”的实验参与者，她要参与一个实验。实验开始时，美人会被麻醉并沉睡。实验会进行两次或三次唤醒。在第一次唤醒前，会抛掷一枚硬币。如果硬币正面朝上，则美人只会被唤醒一次。如果硬币反面朝上，则美人会被唤醒两次。每次唤醒后，美人都会被告知她正在参与实验，然后再次被麻醉并沉睡。每次唤醒时，美人都会失去关于之前唤醒的记忆。更重要的是，在硬币反面朝上的情况下，为了迷惑美人，两次唤醒的条件和环境完全相同，她无法区分是哪一次唤醒。
两种观点：半分法与三分法
这个问题引发了激烈的争论，主要集中在美人应该如何分配她对硬币正反面的概率。两种主要的观点是：
- 半分法 (Halfers)：主张美人应该相信硬币是正面朝上的概率为 1/2，硬币是反面朝上的概率为 1/2。他们认为每次唤醒都代表着一个全新的情景，所以美人应该保持她最初的先验概率。换句话说，她应该相信硬币的结果不会因为她醒来而改变。
- 三分法 (Thirders)：认为美人应该相信硬币是正面朝上的概率为 1/3，反面朝上的概率为 2/3。他们认为，美人醒来的次数与硬币结果之间存在某种联系。硬币为反面的情况下，美人会醒来两次。因此，每次醒来，美人都应该认为硬币是反面的可能性更大。这种推理建立在贝叶斯定理的基础上。
贝叶斯定理的应用
三分法通常基于贝叶斯定理进行推理。考虑美人醒来时的两种情况。假设 H 代表硬币正面朝上，T 代表硬币反面朝上，W 代表美人醒来。那么，三分法的逻辑可以简要描述为：
- P(H) = 1/2， P(T) = 1/2 (先验概率)
- P(W|H) = 1 (如果硬币正面，美人会醒来一次)
- P(W|T) = 2 (如果硬币反面，美人会醒来两次)
- 根据贝叶斯定理，P(H|W) = P(W|H) * P(H) / [P(W|H) * P(H) + P(W|T) * P(T)] = 1 * 1/2 / [1 * 1/2 + 2 * 1/2] = 1/3
- 因此，P(T|W) = 2/3
问题的争议
沉睡的美人问题之所以引起争议，是因为它挑战了我们对“自我”和“时间”的理解。一半的支持者认为，美人所拥有的信息（醒来）与硬币的结果无关；而另一半支持者认为，觉醒状态提供了关于世界的间接信息。这个问题没有一个普遍接受的解决方案，它仍然是哲学和决策理论研究中的一个活跃领域。
结论
沉睡的美人问题是一个引人入胜的思维实验，它揭示了理性决策在不确定性环境下的复杂性。虽然没有明确的答案，但它促使我们更深入地思考概率、自我认知以及如何利用不完整信息做出最佳决策。这个问题持续激发着学者们的思考，推动着决策理论的发展。