定义与基本概念
一个二元关系R在集合A上被定义为反对称，当且仅当对于所有x, y ∈ A，如果(x, y) ∈ R 且 (y, x) ∈ R，那么x = y。这意味着，如果x和y通过关系R相互关联，它们必须是同一个元素。反对称性与对称性是截然不同的概念。一个对称关系如果满足xRy，则yRx。反对称关系则限制了这种双向关系。例如，小于等于关系“≤”在实数集上是反对称的。如果x≤y且y≤x，那么x=y。相反，等于关系“=”在任何集合上都是对称的，同时也是反对称的。
与偏序关系的关系
反对称性是偏序关系的一个基本属性。一个偏序关系（例如“小于等于”）是一个满足以下三个条件的二元关系：
- 自反性：对于A中的所有元素x，xRx。
- 反对称性：如上定义。
- 传递性：对于A中的所有元素x, y, z，如果xRy且yRz，那么xRz。
因此，偏序关系必须是反对称的。例如，自然数上的“小于等于”关系是偏序关系，因为它满足自反性、反对称性和传递性。如果一个关系满足这些条件，它就可以用来定义集合中元素的排序。
应用领域
反对称关系在许多数学和计算机科学领域中都有应用。
数学：
例如，集合论中，集合的包含关系（子集关系）是反对称的。图论中，无向图中的邻接关系不是反对称的。
计算机科学：
在数据库管理系统中，反对称关系可以用来定义数据表之间的依赖关系。例如，函数依赖关系可以用来表示数据列之间的关系，这些关系必须满足反对称性，以确保数据的完整性。
例子与非例子
例子：
- 实数集上的“小于等于”关系(≤)。
- 集合的包含关系(⊆)。
- 整除关系，如果a整除b且b整除a，那么a=b。
非例子：
- 实数集上的“等于”关系(=)，因为如果x=y，那么y=x，但它们不一定是不同的元素。
- 有向图的邻接关系，如果存在从顶点x到顶点y的边，并且存在从顶点y到顶点x的边，那么x!=y。
结论
反对称关系是数学中一个重要的概念，尤其在定义和研究排序、偏序结构以及建立各种关系模型中起着关键作用。理解反对称性的定义和性质对于理解许多高级数学概念至关重要。反对称性与对称性、自反性、传递性等概念一起，构成了关系理论的基础。