基本概念
首先，我们需要理解一些基本概念。 勒贝格可测集 是指在勒贝格意义下可以测量的集合。 勒贝格测度 是普通长度、面积和体积概念的推广。 一个集合的勒贝格测度，本质上就是衡量该集合“大小”的一种方式。 密度 通常是指一个集合在某一点附近的“占比”。
定理内容
勒贝格密度定理的核心内容可以概括为：对于任何勒贝格可测集 ，在几乎所有点 处， 的密度要么是 1，要么是 0。更精确地说，在点 处，如果存在
则称 是 的一个密度点。 其中， 代表勒贝格测度， 代表以 为中心， 为半径的开球。
证明与应用
勒贝格密度定理的证明通常涉及到覆盖定理（如维塔利覆盖引理），以及勒贝格测度的性质。 该定理表明，一个可测集 在几乎所有点上的“密度”要么是 1（在这些点上， “占据”了周围的大部分空间），要么是 0（在这些点上， “占据”的比例非常小）。 勒贝格密度定理在实分析、概率论和几何测度论中都有重要的应用， 例如在证明某些积分的收敛性，或研究集合的几何性质时。 例如，它被用于证明 Fubini 定理，以及许多关于光滑性的结果。
重要性与推论
这个定理的一个重要推论是：对于任何可测集 ，都存在一个开集 包含 ，使得 与 的测度差可以任意小。 这说明，任何勒贝格可测集都可以被一个开集“逼近”。 这也说明了在某种意义上，勒贝格可测集是“接近”于开集的。
结论
勒贝格密度定理是实分析中一个基础且深刻的定理。它揭示了可测集在“几乎所有”点上的局部结构，并提供了一种衡量集合在局部空间中“占比”的方式。它为理解勒贝格积分、几何测度论等领域提供了重要的工具。 该定理强调了勒贝格测度的良好性质，并有助于我们深入理解集合的结构和性质。