定义
一个泊松-李群是一个具有以下性质的数学对象：
首先，它是一个李群 G，这意味着它是一个具有群结构的流形，其乘法运算和逆运算都是光滑的。其次，它还是一个泊松流形，即 G 具有一个泊松结构 {·, ·}，这是一个定义在 G 上光滑函数空间上的双线性运算，满足反对称性、Leibniz法则和Jacobi恒等式。最后，群乘法必须与泊松结构相容，这意味着乘法映射 m: G × G → G，(g, h) → gh，是一个泊松映射。换句话说，对任意在 G 上的光滑函数 f 和 g，有 {f · g, ·}(gh) = {f, ·}(g) · h + f(g) · {g, ·}(h)。
重要性质
泊松-李群的一些重要性质包括：
- 泊松结构相容性: 群乘法与泊松结构的相容性是泊松-李群的核心特征。这确保了群运算与泊松结构的良好结合。
- 对偶代数: 每一个泊松-李群都与一个李代数的对偶结构相关联。这个对偶结构提供了研究泊松-李群的另一种视角，可以帮助理解其性质和结构。
- 量子化: 泊松-李群是量子群的经典极限。对其进行量子化可以得到量子群，量子群在量子力学和数学物理学中有着重要的应用。
应用
泊松-李群在多个领域都有应用，包括：
- 可积系统: 泊松-李群为研究可积系统提供了强大的工具，特别是在处理哈密顿系统和辛几何时。
- 量子群: 泊松-李群是量子群的经典对应物，为研究和理解量子群提供了关键的基础。
- 数学物理: 在规范场论、弦理论等领域中，泊松-李群也被用于构建和研究物理模型。
例子
一个经典的例子是 GL(n,C), 它的泊松结构由其对偶的李代数的r-矩阵给出。另一个例子是半单李群的泊松结构，它与R-矩阵理论相关联。这些例子展示了泊松-李群在不同数学和物理领域中的广泛应用。
结论
泊松-李群是连接李群理论、泊松几何和量子群的桥梁。它们提供了一种将代数结构与几何结构相结合的强大框架，在数学物理学和相关领域具有重要的应用。对泊松-李群的研究，有助于我们更深入地理解这些复杂的数学结构，并推动了量子理论和其他前沿领域的发展。