定义与基本概念
代数数的定义基于多项式的根。一个多项式方程 p(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = 0，其中系数 ai 都是整数，如果存在一个数 x 使得 p(x) = 0，那么 x 称为该多项式的根。如果这个根 x 是一个代数数，那么这个多项式必须是非零多项式。换句话说，至少存在一个系数 ai 不为 0。
例如，√2 是一个代数数，因为它是多项式 x2 – 2 = 0 的根。同样，任何有理数都是代数数，因为有理数 p/q 可以是多项式 qx – p = 0 的根。
代数数与超越数
与代数数相对的是超越数。超越数是指不是代数数的复数。换句话说，超越数不能成为任何整系数多项式的根。π 和 e 是两个著名的超越数。证明一个数是超越数通常比证明一个数是代数数更困难。
代数数和超越数的概念划分了复数域。绝大多数实数是超越数，但找到具体超越数的例子并不容易。
代数数的性质
代数数具有许多重要的性质，这些性质构成了数论的基础：
- 代数数的和、差、积和商（除以非零数）仍然是代数数。 这表明代数数形成一个域，称为代数数域。
- 对于每一个代数数，存在一个唯一的最小次数的首一整系数多项式，使得该代数数为该多项式的根。这个多项式被称为该代数数的极小多项式。
- 代数数的极小多项式是不可约多项式，这意味着它不能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积。
- 代数数域是一个可数集合，这表明代数数比超越数“少”，尽管它们在数轴上的分布非常复杂。
代数数在数学中的应用
代数数的概念广泛应用于数学的各个领域：
- 数论： 代数数论是数论的一个重要分支，它研究代数数域的性质，例如，研究代数整数的性质。
- 代数几何： 代数数在代数几何中扮演着重要的角色，例如，研究代数簇的解。
- 密码学： 一些现代密码学算法使用了有限域和代数数，例如，椭圆曲线密码学。
结论
代数数是数学中一个基础而重要的概念，连接着数论、代数几何等多个领域。它们构成了代数数域，并具有独特的性质。理解代数数对于深入研究高级数学概念至关重要。 代数数的研究不仅推动了数学理论的发展，也在实际应用中发挥着重要作用。