定理内容
该定理的核心内容是：任何一个有限维实内积空间的等距同构（即正交变换），都可以表示为至多 n 个反射的复合，其中 n 是向量空间的维度。换句话说，对于任何一个保持内积不变的线性变换，我们总能找到一组超平面，通过对这些超平面的反射组合，可以得到原始的变换。 这个定理揭示了正交变换的结构，使其能够被分解为更简单的基本操作。
数学表述
更具体地，设 V 是一个 n 维实内积空间，f 是 V 上的一个等距同构。那么，存在至多 n 个超平面 H1, H2, …, Hk (k ≤ n)，使得 f = RH1 o RH2 o … o RHk，其中 RHi 表示关于超平面 Hi 的反射。每个反射都是一个线性变换，将向量关于一个超平面进行镜像对称。这意味着任何正交变换都可以分解为一系列简单的反射。
应用与意义
嘉当-迪厄多内定理在线性代数、几何学和物理学中都有广泛的应用。它有助于理解正交群的结构，正交群是所有保持内积不变的线性变换的集合。在几何学中，它可以用来分析刚性变换，例如旋转和反射。在物理学中，它与描述空间对称性的概念密切相关。该定理为研究这些对称性提供了强有力的工具。
此外，该定理简化了对正交变换的研究，将复杂变换分解为更易于分析的反射。它也为计算提供了便利，因为每个反射都相对容易计算。对于理解和应用正交变换，嘉当-迪厄多内定理提供了核心的理论基础。
证明思路 (简要)
嘉当-迪厄多内定理的证明通常使用归纳法。首先，考虑 f 不是恒等变换的情况。 存在一个向量 v 使得 f(v) ≠ v。 构造一个超平面，该超平面垂直于向量 v – f(v)。在这个超平面上进行反射，将会把 f(v) 变换回 v，并使这个超平面上的其他向量保持不变。然后，对剩余的子空间使用归纳法，直到变换可以分解为至多 n 个反射。 证明的关键在于通过反射将复杂的变换逐步简化。
结论
嘉当-迪厄多内定理是线性代数中一个优雅而重要的结果。它揭示了正交变换的基本结构，并提供了一种将它们分解为更简单的反射的方法。该定理的应用涵盖了数学、物理等多个领域，对深入理解对称性和刚性变换具有重要意义。它简化了对正交变换的分析，并为相关的计算提供了便利。