定义与组成
更具体地说，给定一个么半范畴 (C, ⊗, I)，一个强单子 (T, η, μ) 由以下组成：
- 一个函子 T: C → C。
- 一个单位元变换 η: IdC → T。
- 一个乘法变换 μ: T² → T。
- 一个自然的变换 t: T(A) ⊗ B → T(A ⊗ B)，称为强度。
其中，η 和 μ 满足通常的单子公理，而 t 需要满足特定的相容性公理，包括与 η 和 μ 的协调，以及与么半范畴的结合律和单位元的兼容性。这些公理确保了强单子保持了其在么半范畴中的结构。
强度 (Strength) 的作用
强度 t 允许我们将单子 T “穿过” ⊗ 运算。这使得我们可以将 T 作用于两个对象的张量积，而不仅仅是单个对象。 强度在处理涉及多个对象的计算时至关重要。 强度的存在使得我们能够描述对象之间相互作用的单子效应。
强单子的例子
一个重要的例子是状态单子。状态单子用于模拟具有可变状态的计算。在 Haskell 等函数式编程语言中，状态单子被广泛使用，它们通过将状态传递给函数来实现对状态的更新和访问。强单子的强度描述了状态如何与计算的“外部”部分交互。例如，假设我们需要将一个状态和一个值一起传递给一个函数。强单子中的强度允许我们安全地将状态与值结合起来。
另一个例子是列表单子，在列表单子中，强单子允许对列表中的元素进行结构化处理。在函数式编程中，列表单子被用来表示非确定性计算或多值计算。强单子在此提供了列表元素间的互动能力。
应用与意义
强单子在范畴论和函数式编程中具有重要的应用。它们为处理具有额外结构的计算（例如，状态、输入/输出、非确定性）提供了一种强大的框架。通过使用强单子，我们可以将这些结构与函数组合起来，并保持计算的纯粹性和模块性。 强单子的概念有助于理解和设计复杂系统的行为。 它们为程序语义提供了坚实的基础。
结论
强单子是范畴论和函数式编程中一个重要的概念。它们提供了一种处理具有额外结构的计算的优雅方法。 强单子的强度允许我们将单子“穿过”么半范畴的张量积运算，从而使得可以描述和操作更复杂的计算。 强单子的应用广泛，从状态管理到非确定性计算，它们在软件设计中提供了强大的建模工具。