基本概念
一个有限生成的群是由一组生成元以及它们之间的关系定义的。例如，一个由元素a和b生成的群，如果没有任何关系，那么群中的元素可以表示为a和b的各种组合。自动群则更进一步，它要求群上的运算可以通过有限状态自动机来有效地计算。这意味着对于群中的任意两个元素，它们的乘积可以通过一个状态机，在有限步骤内得到计算结果。这个过程是“自动”的，因为它不需要手动干预。
自动机的角色
自动机在自动群的定义中起着核心作用。每个自动群都关联着有限个有限状态自动机。这些自动机负责处理群中的元素以及它们的运算。每个自动机都有一个有限的状态集合，以及输入字母表，通常是群的生成元及其逆元。当两个元素相乘时，一个自动机从起始状态开始，按照输入的顺序，在状态之间进行转换。最终，自动机的输出状态代表了乘积的结果。自动机的作用是确保运算的计算是有限的，并且可以在有限时间内完成。
自动群的性质
自动群具有许多良好的性质。它们允许有效的算法来解决群论中的一些问题。例如，可以通过自动机来判断一个元素是否是恒等元素，或者判断两个元素是否相等。此外，自动群与计算复杂性理论也有密切的联系。自动群的结构可以用来研究一些难以解决的计算问题。
自动群的应用
自动群的应用遍及多个数学领域。它们在几何群论中扮演着重要的角色，用来研究群的几何结构，如度量空间和测地线。它们也被应用于计算群论，用来设计和实现计算群的算法。此外，自动群的研究也涉及到一些计算机科学领域，例如，程序设计和计算复杂性理论。
举例说明
一个简单的例子是循环群。循环群由一个生成元生成，这个生成元可以循环地产生群中的所有元素。一个循环群可以定义一个自动机，这个自动机可以根据群中元素的顺序，通过状态的循环转移来计算元素的乘积。另一个例子是自由群，自由群的结构相对复杂，但同样可以通过有限状态自动机来定义。 这些例子都表明了自动群理论在不同类型的群结构研究中的重要性。
理论意义
自动群理论为我们提供了一种新的视角来研究群的结构和性质。它可以帮助我们更好地理解群的计算复杂性，以及群与几何之间的关系。通过研究自动群，我们可以发现新的算法和计算方法，解决计算群论中的一些难题。自动群还为我们提供了研究有限生成群的工具，特别是对于解决一些难以计算的问题，自动群的性质可以提供关键的线索。
结论
自动群是群论研究中的一个重要概念。它们提供了一种结构化的方式来描述和计算群的运算。自动群的应用广泛，涉及几何群论、计算群论、以及计算机科学。 通过研究自动群，我们可以更好地理解群的结构和计算复杂性。自动群理论的发展将持续推动群论的发展，并为相关领域带来新的发现。