定义与数学表达
对于一个实值随机变量 X，其累积分布函数 F(x) 定义为：
F(x) = P(X ≤ x)
其中，P(X ≤ x) 表示随机变量 X 取值小于或等于 x 的概率。CDF 本质上是一个函数，它将随机变量的取值映射到 [0, 1] 之间的概率值。CDF 具有单调递增的特性，即当 x 增加时，F(x) 也会增加，直到趋近于 1。
性质
累积分布函数具有以下重要性质：
- 非递减性：对于任意 x1 ≤ x2，有 F(x1) ≤ F(x2)。
- 右连续性：对于任意 x，有 lim(x→x+) F(x) = F(x)。
- 边界条件： lim(x→-∞) F(x) = 0，lim(x→+∞) F(x) = 1。
- 概率计算： P(a < X ≤ b) = F(b) – F(a)。
这些性质使得 CDF 成为分析和理解随机变量概率分布的有力工具。特别是，利用 CDF 可以方便地计算随机变量落在特定区间内的概率。
离散型与连续型随机变量的 CDF
对于离散型随机变量，CDF 是一个阶梯函数。在每个可能的取值点上，CDF 都会发生跳跃，跳跃的大小等于该取值的概率。对于连续型随机变量，CDF 是一个连续的函数。其导数（如果存在）是概率密度函数（PDF）。PDF 描述了随机变量在特定点附近的概率密度。
理解离散型和连续型随机变量的 CDF 之间的区别对于正确应用概率理论至关重要。在实际应用中，需要根据随机变量的类型选择适当的分析方法。
应用
CDF 在统计学和概率论中有着广泛的应用，包括：
- 概率计算：计算随机变量落在特定区间内的概率。
- 统计推断：用于构建置信区间和进行假设检验。
- 数据可视化：通过绘制 CDF 曲线，可以直观地了解数据的分布特征。
- 风险管理：在金融领域中，CDF 被用于评估投资组合的风险。
- 可靠性工程：用于分析产品的寿命和失效概率。
CDF 的应用涵盖了从理论研究到实际工程的多个领域，是理解和处理随机现象的必备工具。
结论
累积分布函数（CDF）是描述随机变量概率分布的核心概念。它以简洁的形式概括了随机变量的各种取值的概率分布。理解 CDF 的定义、性质和应用对于深入理解概率论和统计学至关重要。CDF 的重要性体现在它能够帮助我们量化和分析随机现象，为决策提供可靠的依据。 通过 CDF，我们可以更好地理解数据，进行统计推断，并解决实际问题。