背景知识：集合的基数
为了理解连续统假设，我们需要了解集合的基数。基数用于衡量集合的大小，即集合中元素的“数量”。对于有限集合，基数就是集合中元素的个数。对于无限集合，基数的概念则更加复杂。例如，自然数集合的基数记为 ℵ₀（aleph-null），是最小的无限基数。实数集合的基数通常记为 c，代表“连续统”，它比 ℵ₀ 大。
连续统假设的陈述
连续统假设断言，不存在一个集合，其基数严格大于 ℵ₀ 且严格小于 c。换句话说，如果一个集合的大小比自然数集合大，那么它要么和实数集合一样大，要么就比实数集合还大。这可以被形式化地表述为：不存在集合 A 满足 ℵ₀ < |A| < c。
连续统假设的证明与争议
连续统假设的独特之处在于它与公理系统的关系。在20世纪初，数学家们尝试证明或证伪连续统假设，但遇到了困难。库尔特·哥德尔在1940年证明了连续统假设与集合论的公理系统（ZFC，即策梅洛-弗兰克尔集合论加上选择公理）是相容的，这意味着，如果 ZFC 是无矛盾的，那么 CH 也是无矛盾的。这意味着你无法在 ZFC 中证明 CH 是错误的。
后来，保罗·科恩在1963年证明了 CH 与 ZFC 是独立的，这意味着 CH 既不能从 ZFC 推导出来，也不能被 ZFC 否定。科恩的证明使用了“强迫法”，这是一种强大的技术，用于构造新的集合论模型。这一结果表明，在 ZFC 的框架内，我们无法确定连续统假设的真假。
连续统假设的意义
连续统假设的独立性意味着它可能在不同的集合论模型中成立或不成立。虽然它并没有直接影响到我们日常的数学运算，但它对集合论的基础和数学哲学有着重要的影响。它引发了对数学公理系统以及无穷集合本质的深入思考。
例如，假设 CH 为真，那么我们对无穷集合的大小就有了更清晰的认识，但如果 CH 为假，那么我们对无穷集合的理解就可能会更加复杂，需要寻找更多基数之间的关系。
结论
连续统假设是集合论中一个非常重要的未解决的问题。它的独立性意味着在当前的数学框架内，我们无法决定它的真假。 这也促使数学家们探索替代的公理系统，以试图解决这个问题，或者更深入地理解无穷集合的性质。CH 持续激发着人们对数学基础和边界的探索。