Gompertz 函数
Gompertz 函数描述了随着年龄增长，死亡率呈指数增长的趋势。这种增长通常被解释为由于生理衰退和累积的损伤而导致的死亡风险增加。Gompertz 函数的数学表达式通常为：
µ(x) = α * exp(β * x)
其中：
- µ(x) 代表年龄 x 时的死亡率。
- α 代表一个常数，表示基础死亡率。
- β 代表死亡率随年龄增长的速度。
- x 代表年龄。
Makeham 项
Makeham 项代表一个与年龄无关的死亡率成分，通常被解释为由外部因素引起的死亡风险，例如疾病、事故或环境因素。 Makeham 项的引入使得死亡率定律更加准确地拟合实际观测数据，特别是在年轻年龄段，Gompertz 函数往往低估了死亡率。
Makeham 项通常用常数 c 表示，因此 Gompertz-Makeham 死亡率定律的完整形式可以表示为：
µ(x) = α * exp(β * x) + c
应用与意义
Gompertz-Makeham 死亡率定律在多个领域都有广泛的应用：
- 人口统计学： 用于分析和预测人口死亡率，为人口预测和规划提供基础。
- 保险精算学： 用于计算人寿保险的保费，评估不同年龄组的风险。
- 生物学： 用于研究衰老过程，理解生物体寿命的规律。通过分析不同物种的死亡率曲线，研究人员可以探索影响寿命的因素。
- 医学： 用于评估疾病的风险，例如癌症的发生率，并预测疾病的进展。
该定律为理解人类寿命和衰老过程提供了有价值的框架。它帮助研究人员量化了年龄对死亡率的影响，并识别了影响死亡率的独立因素。
局限性
尽管 Gompertz-Makeham 死亡率定律在描述死亡率方面取得了显著的成就，但它也存在一些局限性：
- 数据拟合问题： 在非常高或非常低的年龄段，该定律可能无法准确地拟合实际观测数据。
- 忽略了其他因素： 该定律主要关注年龄和与年龄无关的风险，而忽略了其他可能影响死亡率的因素，例如遗传、生活方式和医疗进步。
- 参数解释： 参数 α 和 β 的生物学解释有时具有挑战性，因为它们可能受到多种因素的影响。
结论
Gompertz-Makeham 死亡率定律是人口统计学和生物学领域的重要工具。 它提供了一个数学框架，用于描述和预测不同年龄组的死亡率模式。 尽管存在一些局限性，但该定律仍然是理解人类寿命和衰老过程的关键组成部分， 并在多个领域发挥着重要作用。