基本原理
双线性变换的核心是将s域的复频率变量s映射到z域的复频率变量z。该变换由以下公式定义：
z = 2/T * (s-1)/(s+1)
其中，T是采样周期。相反，s可以表示为：
s = 2/T * (z-1)/(z+1)
这个变换的主要优点是它将s域的左半平面映射到z域的单位圆内，这保证了数字滤波器的稳定性。此外，双线性变换是单调的，这意味着它不会改变频率响应的相对顺序。
频率弯折 (Frequency Warping)
虽然双线性变换保持了系统的稳定性，但它会引起频率弯折。这意味着数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应有所不同，特别是在高频区域。为了补偿这种弯折，我们需要对模拟滤波器的截止频率进行预弯折。
预弯折的公式如下：
ω_a = 2/T * tan(ω_d * T/2)
其中，ω_a是模拟滤波器的预弯折截止频率，ω_d是数字滤波器的期望截止频率。通过使用预弯折的频率，我们可以设计出数字滤波器，其频率响应更接近于模拟滤波器的频率响应。
应用
双线性变换广泛应用于各种数字信号处理应用，包括：
- 滤波器设计: 将模拟滤波器（如巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器）转换为数字滤波器。
- 音频处理: 用于均衡器、滤波器和各种音频效果器的设计。
- 控制系统: 在将连续时间控制器转换为离散时间控制器时使用。
- 图像处理: 在图像滤波和处理中使用。
优缺点
优点：
- 稳定性保持：将稳定的模拟系统转换为稳定的数字系统。
- 设计简单：易于使用，可以将模拟滤波器设计转换为数字滤波器。
- 广泛适用：适用于多种类型的滤波器。
缺点：
- 频率弯折：在高频区域引入频率失真。
- 精度问题：在某些情况下，双线性变换可能无法提供足够的精度。
结论
双线性变换是一种重要的工具，用于将模拟系统转换为数字系统，尤其是在数字信号处理和控制系统中。 尽管存在频率弯折问题，通过预弯折技术可以有效地补偿。 它提供了一种简单而实用的方法来设计数字滤波器和其他数字信号处理系统，从而使其成为数字信号处理领域不可或缺的一部分。