定义与表示
二次型本质上是一个二次齐次多项式。对于随机向量 \(X = (X_1, X_2, …, X_p)’\) 和对称矩阵 \(A\)，二次型 \(Q\) 可以表示为：
\(Q = X’AX = \sum_{i=1}^{p} \sum_{j=1}^{p} a_{ij} X_i X_j\)
其中 \(a_{ij}\) 是矩阵 \(A\) 的元素。由于 \(A\) 是对称矩阵，因此 \(a_{ij} = a_{ji}\)。这个定义明确地表明，二次型是随机变量的平方和及其交叉乘积的线性组合。
二次型的性质
二次型的分布和性质在统计推断中至关重要。以下是一些关键的性质：
- 分布： 如果随机向量 \(X\) 服从多元正态分布，并且矩阵 \(A\) 满足特定的条件（例如，\(A\) 是非负定矩阵），则二次型 \(Q\) 的分布可以由卡方分布来描述。 具体来说，如果 \(X\) 服从正态分布，那么 \(X’AX\) 的分布取决于矩阵 \(A\) 的秩和特征值。
- 期望和方差： 二次型的期望和方差可以通过矩阵代数的技巧计算。对于一个服从多元正态分布的随机向量，二次型的期望通常涉及到均值和协方差矩阵。
- 独立性： 在某些特定条件下，两个或多个二次型之间可能相互独立。例如，当 \(X\) 服从正态分布，并且相应的矩阵满足特定的正交性条件时，二次型相互独立。
在统计推断中的应用
二次型在统计推断中具有广泛的应用，特别是在以下几个方面：
- 假设检验： 在检验关于均值向量或协方差矩阵的假设时，通常会构造基于二次型的检验统计量。例如，在检验多元正态分布的均值是否等于某个特定值时，可以使用基于二次型的统计量（如Hotelling的T²统计量）。
- 估计理论： 在估计模型参数时，例如在多元线性回归中，残差平方和（也是一种二次型）可以用来估计误差方差。
- 多元方差分析 (MANOVA)： 在MANOVA中，二次型被用于分解总的离差平方和和交叉乘积矩阵，从而进行组间差异的检验。
- 协方差结构分析： 二次型在检验协方差矩阵的特定结构（如球形协方差结构）时发挥作用。
结论
二次型是多元统计分析中的一个基本概念，它为处理随机向量的平方和及其交叉乘积提供了一个有力的工具。理解二次型的性质，特别是其与卡方分布的关系，对于进行统计推断至关重要。二次型广泛应用于假设检验、估计理论以及多元方差分析等领域，是多元统计分析的核心组成部分。