定义
设 V、W 和 X 均为域 F 上的向量空间。一个双线性映射是一个函数 B: V × W → X，满足以下两个条件（线性性质）：
- 对于任意 w ∈ W，映射 v → B(v, w) 是一个从 V 到 X 的线性映射。
- 对于任意 v ∈ V，映射 w → B(v, w) 是一个从 W 到 X 的线性映射。
换句话说，双线性映射在每个参数上都是线性的，即满足加法和标量乘法的性质。 这意味着对于向量空间 V 中的任何向量 v1 和 v2，向量空间 W 中的任何向量 w，以及标量 a，以下等式成立：
B(v1 + v2, w) = B(v1, w) + B(v2, w) 且 B(a * v1, w) = a * B(v1, w)。
类似地，对于向量空间 V 中的任何向量 v，向量空间 W 中的任何向量 w1 和 w2，以及标量 a，以下等式成立：
B(v, w1 + w2) = B(v, w1) + B(v, w2) 且 B(v, a * w1) = a * B(v, w1)。
示例
一个常见的双线性映射的例子是矩阵乘法。考虑实数域 R 上的向量空间 Rm×n 和 Rn×p，矩阵乘法定义了一个双线性映射，将两个矩阵相乘得到 Rm×p 中的一个矩阵。内积（点积）也是一个双线性映射，它将两个向量映射到标量。
另一个例子是，对于两个向量空间 V 和 W，可以将张量积 V ⊗ W 构造出来，那么存在一个双线性映射 B : V × W → V ⊗ W，定义为 B(v, w) = v ⊗ w。
应用
双线性映射在许多数学分支中都有应用，例如:
- 代数: 用于研究群论、环论和模理论。
- 几何: 在双线性形式的研究中，特别是在欧几里得空间中的内积定义中。
- 密码学: 双线性映射在配对密码学中扮演着关键角色。 配对密码学利用了椭圆曲线上的双线性映射的性质，实现了许多高级密码学协议，例如基于身份的加密 (IBE) 和无证书签名。 在这些协议中，双线性映射用于将复杂问题简化，从而实现安全通信。
双线性映射在密码学中的一个关键应用是能够将来自两个不同群的元素“映射”到一个第三个群中，并且在计算上是难逆的。这种“难逆性”是许多密码学协议安全性的基础。
结论
双线性映射是数学中一个重要的概念，它将两个向量空间的元素映射到第三个向量空间，并满足线性性质。它在代数、几何和密码学等多个领域都有着广泛的应用，特别是在配对密码学中，双线性映射是构建安全加密协议的关键工具。