定理的陈述
更具体地说，设 f : Sn → ℝn 是从 n 维球面 Sn 到 n 维欧几里得空间 ℝn 的一个连续函数。那么，存在一个点 x ∈ Sn，使得 f(x) = f(-x)。换句话说，总存在一对对映点（即彼此相对的点）在映射下具有相同的像。该定理适用于任意维度，例如，一个连续函数将球面映射到平面，必然存在一对对映点被映射到平面上的同一点。
定理的直观理解
对于较低的维度，可以更容易地直观理解该定理。例如，在二维空间中（n=1），想象一条连续的曲线（函数）从一个圆（S1）映射到一条直线（ℝ1）。那么，总能找到圆上的一对对径点，它们在直线上映射到同一个点。换句话说，我们可以想象将一张纸覆盖在一个球上，无论如何覆盖，都至少有一对对径点在纸上落在同一位置。
另一个例子是在三维空间中（n=2），想象一个连续函数将一个球面（S2）映射到平面（ℝ2）。那么，总能找到球面上的一对对径点，它们在平面上映射到同一个点。这可以用以下情景来解释：你无论如何放置一张纸在地球表面，至少会找到一对纸上的点对应地球上的对径点。
定理的应用
博苏克–乌拉姆定理在拓扑学、组合数学和计算机科学等领域都有广泛的应用。例如，它可以被用来证明一些关于地图着色的结论、证明一些关于分配问题的结果，以及分析博弈论中的策略。
一个经典的例子是“夹馅定理”：假设在地球上存在任意数量的“夹馅”，例如冰淇淋。存在一种方式，可以用一张纸夹住这些冰淇淋，使得所有冰淇淋体积均分。 这可以使用博苏克–乌拉姆定理来证明。
定理的证明
博苏克–乌拉姆定理的证明方法多种多样，包括使用代数拓扑中的同调理论、不动点定理等。这些证明通常比较复杂，需要深入的数学知识。该定理的证明并非构造性的，也就是说，它证明了这样的点存在，但并没有给出如何找到这些点的方法。
结论
博苏克–乌拉姆定理是一个深刻的数学定理，它揭示了球面和欧几里得空间之间的联系。该定理在数学的多个领域都具有重要的应用，并且促进了人们对拓扑学和相关领域的深入理解。虽然其证明可能较为复杂，但其蕴含的数学思想和应用价值是不可忽视的。