定义与基本性质
一个复反射群 G 是一个有限群，它作用于一个 n 维复向量空间 V，并且由复反射生成。一个复反射是一个线性变换 s: V → V，满足以下条件：
- s 的固定子空间是一个余维数为 1 的子空间 (即一个超平面)。
- s 在这个超平面上是恒等变换。
- s 沿着垂直于该超平面的向量的方向，将向量乘以一个非1的根。
复反射群具有许多重要的性质。例如，它们总是可以被分解为不可约的复反射群的直积。不可约复反射群可以根据其结构进行分类。这些分类包括经典的复反射群，如循环群，以及一些特殊的复反射群，如由某些有限单群产生的群。
分类与例子
复反射群的分类是数学中一个重要的研究课题。已知的复反射群可以分为以下几类：
- 循环群：这是最简单的一类，由单个反射生成。
- 对称群的推广：对称群 Sn 可以推广到一些复反射群，例如通过对坐标进行置换和乘以根来构造。
- Coxeter群：这些群是实反射群的推广，它们与正多面体密切相关。
- 特殊的复反射群：存在一些不属于上述分类的特殊复反射群，它们往往具有更复杂的结构。
例如，二面体群就是一种复反射群，它代表了正多边形的对称性。另一个例子是，考虑一个由两个反射生成的群，这两个反射分别关于两条在复平面上相交的直线。这两个反射的组合可以产生旋转。这些例子展示了复反射群的广泛应用和多样性。
应用
复反射群在数学的多个领域中都有应用：
- 李理论：复反射群与李代数和李群的结构密切相关。魏尔群是一个重要的复反射群，它描述了李群的对称性。
- 组合学：复反射群可以用来研究组合结构，例如组合设计和图论。
- 代数几何：复反射群可以用来研究复代数簇的对称性和奇异性。
复反射群的研究促进了我们对数学结构的深刻理解。它们为研究对称性、几何和代数提供了强大的工具。
结论
复反射群是有限群理论中的一个重要概念，它们在数学的多个领域中都发挥着重要作用。通过研究复反射群，我们可以更好地理解对称性、结构和分类。它们的分类、性质和应用是当前数学研究的热点之一，对推动数学的发展具有重要意义。