定义
对于一个 n × n 的方阵 A，其行列式可以通过莱布尼茨公式计算如下：
det(A) = Σ (sgn(σ) ∏ a(i, σ(i)))
其中：
- Σ 表示对所有可能的排列 σ 求和，σ 是集合 {1, 2, …, n} 的一个排列。
- sgn(σ) 是排列 σ 的符号，如果 σ 是偶排列则为 1，如果 σ 是奇排列则为 -1。
- ∏ 表示对 i = 1 到 n 的乘积。
- a(i, σ(i)) 是矩阵 A 中位于第 i 行和第 σ(i) 列的元素。
排列与符号
排列是指对一组元素进行重新排序的方式。例如，对于集合 {1, 2, 3}，一个可能的排列是 {2, 3, 1}。
符号 (sgn) 用于确定每个排列的贡献是正数还是负数。它取决于排列中逆序对的数量。逆序对是指在排列中，一个较大数字出现在较小数字之前的情况。如果逆序对的数量是偶数，符号为 +1，如果逆序对的数量是奇数，符号为 -1。
举例说明：对于排列 {2, 3, 1}，逆序对有 (2, 1) 和 (3, 1)，共有 2 个逆序对，因此符号为 +1。对于排列 {3, 2, 1}，逆序对有 (3, 2), (3, 1), (2, 1)，共有 3 个逆序对，因此符号为 -1。
公式的计算
莱布尼茨公式提供了一种理论上理解行列式的方式，尽管对于大型矩阵，它的计算效率较低。 这是因为需要考虑所有可能的排列，并且计算量随着矩阵的大小呈指数级增长。
对于一个2×2的矩阵:
A = [[a, b], [c, d]]
其行列式可以通过莱布尼茨公式计算如下：
det(A) = a*d – b*c
对于3×3的矩阵，计算会变得更复杂，但原理相同。
应用
尽管莱布尼茨公式的计算效率不高，但在理论上，它提供了对行列式性质的深刻理解。 它对于证明行列式的各种性质，以及理解线性代数的基础概念至关重要。 它也被用于推导其他更有效率的行列式计算方法。
结论
莱布尼茨公式是线性代数中一个重要的概念，它提供了行列式的严格定义，并揭示了行列式与矩阵元素置换之间的联系。 尽管在实际计算中，由于计算复杂度，它通常不被直接使用，但它在理论研究中具有重要的价值。