定义与存在性
一个考克斯特群 (W, S) 是由一组生成元 S 和一组关系定义的。最长元通常用 w₀ 表示，它具有以下性质：对于 W 中的任何其他元素 w，都有 l(w) ≤ l(w₀)，其中 l(w) 表示 w 的长度，即表示 w 作为生成元 s ∈ S 的乘积的最短表达形式的长度。最长元的存在性是有限考克斯特群的一个基本性质，可以从有限考克斯特群的定义和结构推导出来。
基本性质
最长元 w₀ 具有许多重要的性质。例如，它是一个对合元，这意味着 w₀² = e，其中 e 是单位元。此外，w₀ 还是一个中心元素，这意味着它与群中的任何元素都可交换。最长元还与考克斯特群的几何表示有关。例如，对于有限的考克斯特群，最长元 w₀ 可以将群的根系中的正根映射到负根。
具体例子
为了更好地理解最长元的概念，我们来看几个具体的例子：
- A₁ 群： 这是由一个生成元 s 组成的群。最长元是 s 本身，因为 l(s) = 1。
- A₂ 群： 这是由两个生成元 s₁ 和 s₂ 组成的群，满足关系 (s₁s₂)^3 = e。最长元是 w₀ = s₁s₂s₁ = s₂s₁s₂，并且 l(w₀) = 3。
- 对称群 S₃： 这个群对应于考克斯特群 A₂。它的最长元是 (1 3)。
这些例子展示了最长元在不同考克斯特群中的具体表现形式。
应用
考克斯特群的最长元在许多数学领域都有应用：
- 群论： 帮助理解考克斯特群的结构，例如其子群和正规子群。
- 组合数学： 用于计算考克斯特群中元素的长度和数量，以及研究考克斯特群的各种组合性质。
- 几何学： 与考克斯特群的几何表示和对称性有关，例如，考克斯特群可以用来描述正多面体的对称性。
理解最长元对于研究和应用考克斯特群至关重要。
结论
考克斯特群的最长元是有限考克斯特群中一个重要的元素。它具有独特的性质，并且在群论、组合数学和几何学中有着广泛的应用。了解最长元对于深入理解考克斯特群的结构和性质至关重要。最长元的存在性和性质，提供了研究和应用考克斯特群的强大工具，也帮助人们理解了这些群与其他数学分支之间的联系。