基本概念
DVI 描述了随时间演变的系统的行为，它包含两个主要组成部分：一个常微分方程 (ODE)，描述了系统的动态特性，和一个变分不等式，定义了系统状态必须满足的约束或条件。换句话说，DVI 提供了一个框架，用于分析在约束条件下，系统如何随时间变化。
常微分方程 描述了系统的演变规律。 例如，这可能是描述一个机械系统的运动定律，或者描述一个经济模型中变量随时间变化的规律。
变分不等式 描述了系统状态必须满足的约束条件。 约束条件可能包括物理约束，如系统的状态变量必须保持在一定范围内，或者经济约束，如资产价格不能低于某一水平。
数学表达
一个典型的 DVI 可以表示如下：
求解状态变量 x(t)，对于所有 t ∈ [0, T]，使得：
dx/dt = F(x(t), t) + u(t)，
其中 u(t) 满足：
u(t) ∈ ∂ψ(x(t)),
其中：
- x(t) 是系统的状态变量。
- F(x(t), t) 是描述系统动态的 ODE。
- u(t) 是控制变量，用于调整系统状态。
- ∂ψ(x(t)) 是描述约束条件的变分不等式。
∂ψ(x(t)) 通常是一个集合，定义了系统状态允许存在的区域。 这个集合也定义了可能作用在系统上的力的范围。
应用领域
DVI 在各个领域都有广泛的应用：
- 控制理论: 用于设计控制策略，以控制受约束的动态系统。例如，控制机器人的运动，或优化工业过程。
- 机械工程: 模拟接触问题和摩擦问题。例如，模拟机械部件之间的接触和相互作用。
- 经济学: 建立动态经济模型，研究市场均衡。例如，研究资产定价或资源分配。
- 交通运输: 优化交通流量管理，减少拥堵。
- 金融: 用于衍生品定价和风险管理。
DVI 提供了一种强大的建模工具，用于研究复杂的、受约束的动态系统。 它们允许研究者整合常微分方程和变分不等式，以更好地理解和预测现实世界的行为。
求解方法
求解 DVI 通常比求解纯粹的 ODE 或变分不等式更具挑战性。根据 DVI 的具体形式，可以使用多种数值方法：
- 离散化方法: 将时间轴离散化，将 DVI 转化为一系列变分不等式问题。
- 投影方法: 将系统的状态投影到约束区域上，迭代地求解 ODE 和投影。
- 光滑化方法: 用光滑函数逼近约束条件，将 DVI 转化为一个更容易处理的优化问题。
选择合适的求解方法取决于 DVI 的复杂性和所需的精度。 研究者需要权衡计算成本和解决方案的准确性。
结论
微分变分不等式 (DVI) 是一种强大的数学工具，它能够模拟受约束的动态系统。 DVI 结合了常微分方程和变分不等式的优点，在控制理论、机械工程、经济学等领域都有广泛的应用。 随着计算技术的不断发展， DVI 的求解方法也在不断完善，这使得它成为研究复杂动态系统的重要工具。