模型的基本原理
比例风险模型的核心在于它假设风险函数是成比例的。风险函数描述了在特定时间点发生事件的瞬时风险。该模型认为，不同个体的风险函数之间仅存在一个比例因子，而这个比例因子与个体所处的协变量（例如年龄、性别、治疗类型等）有关，但与时间无关。这意味着协变量会改变风险的相对大小，但不会改变风险随时间变化的模式。
模型的数学表达
比例风险模型通常用以下公式表示：
h(t|X) = h₀(t) * exp(β₁X₁ + β₂X₂ + … + βₚXₚ)
其中：
- h(t|X) 是在给定协变量 X 的条件下，在时间 t 的风险函数。
- h₀(t) 是基线风险函数，代表所有协变量为零时的风险。
- X₁, X₂, …, Xₚ 是协变量。
- β₁, β₂, …, βₚ 是相应的协变量的回归系数，表示协变量对风险的影响程度。如果 β 值大于 0，则表明协变量增加了风险；如果 β 值小于 0，则表明协变量降低了风险。
模型的应用
比例风险模型广泛应用于医学、生物学、社会科学和工程学等领域。在医学研究中，它常被用来分析患者的生存时间，评估治疗效果，例如评估不同药物对癌症患者生存期的影响。在生物学中，可以用来研究动物的寿命和影响寿命的因素。在社会科学中，可以用来分析失业时间或婚姻持续时间等。在工程学中，可用于预测设备的失效时间。
模型能够帮助研究人员了解风险因素，并预测个体或群体的生存概率。
模型的优势
相对于其他生存分析方法，比例风险模型具有以下优势：
- 半参数模型： 不需要对基线风险函数的形式进行预先假设，这使其具有灵活性。
- 能够处理截尾数据： 生存分析中常常会遇到截尾数据，即在研究结束时某些个体尚未发生事件。比例风险模型可以有效地处理这类数据。
- 易于解释： 模型的结果（即回归系数）可以直观地解释协变量对风险的影响。
模型的限制
比例风险模型也存在一些限制：
- 比例风险假设： 模型假设风险函数是成比例的。如果这一假设不成立，模型的结果可能会产生偏差。可以通过图表或统计检验来评估该假设是否成立。
- 协变量的线性效应： 模型假设协变量对风险的影响是线性的，即每增加一个单位的协变量，风险会按照exp(β)的比例变化。
- 多重共线性： 如果协变量之间存在高度相关性，可能会影响模型结果的稳定性和解释性。
结论
比例风险模型是一种强大的工具，用于分析生存时间数据。 它提供了一种灵活而易于解释的方法，用于研究影响生存的因素，并量化这些因素的影响。 尽管存在一些局限性，但它仍然是生存分析中最常用的方法之一，广泛应用于各种领域，为研究人员提供了宝贵的见解。
参考资料
- Cox, D. R. (1972). Regression models and life-tables. Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Methodological), 34(2), 187–220.
- Kleinbaum, D. G., & Klein, M. (2012). Survival analysis: A self-learning text. Springer Science & Business Media.
- Hosmer Jr, D. W., Lemeshow, S., & May, S. (2008). Applied survival analysis: regression modeling of time-to-event data. John Wiley & Sons.
- 《生存分析》 – 王静龙