可观测性定义
系统是可观测的，如果对于任意的初始状态 $x(t_0)$，存在一个有限时间段 $[t_0, T]$，可以根据输入 $u(t)$ 和输出 $y(t)$ 唯一确定。换句话说，通过观察系统的输入和输出，我们可以确定系统在任何时刻的状态。
可观测性格拉姆矩阵的计算
可观测性格拉姆矩阵 $W_o$ 定义为：
$$W_o = \int_{t_0}^{T} e^{A^T(t- \tau)}C^T C e^{A(t- \tau)} d\tau$$
或者也可以写成：
$$W_o = \int_{0}^{\infty} e^{A^T t}C^T C e^{A t} dt$$
其中 $W_o$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵。对于稳定系统 (即 $A$ 的所有特征值具有负实部)，可以通过求解Lyapunov方程来计算：
$$A^T W_o + W_o A + C^T C = 0$$
可观测性判据
一个线性时不变系统是可观测的，当且仅当其可观测性格拉姆矩阵 $W_o$ 是正定矩阵。这意味着 $W_o$ 的所有特征值都大于零，或者 $W_o$ 是可逆的。如果 $W_o$ 的秩小于 $n$，则系统是不可观测的。
另一种判断方法是，构造可观测性矩阵：
$$O = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix}$$
系统是可观测的，当且仅当可观测性矩阵 $O$ 的秩为 $n$。这个判断方法在实际应用中更常使用。
应用与意义
可观测性格拉姆矩阵和可观测性矩阵在控制系统设计中起着至关重要的作用。 例如，它们用于：
- 状态估计： 用于设计状态观测器，通过输出信息来估计系统的状态。
- 系统辨识： 确定系统的可观测性，保证了从输入输出数据辨识系统参数的可行性。
- 控制器设计： 在设计反馈控制器时，可观测性对于确保闭环系统的稳定性和性能至关重要。
不可观测的系统状态无法通过输出测量进行推断，这会导致控制系统设计的困难和性能的下降。
结论
可观测性格拉姆矩阵是评估线性时不变系统可观测性的重要工具。 通过计算格拉姆矩阵，我们可以确定系统是否能够通过输出唯一确定其初始状态。 可观测性是控制系统设计的基础，确保了状态估计和控制器设计的可行性。 掌握可观测性格拉姆矩阵及其应用，对于理解和设计有效的控制系统至关重要。