可控性定义
如果对于任意初始状态 $x(t_0) = x_0$ 和任意期望状态 $x_f$，存在一个输入 $u(t)$ 在有限时间 $[t_0, t_f]$ 内，使得系统的状态从 $x_0$ 转移到 $x_f$，则称该系统是可控的。换句话说，可控性是指系统在输入信号的作用下，其状态可以在有限时间内被任意控制的能力。
格拉姆矩阵的定义
可控性格拉姆矩阵，通常用 $W_c(t)$ 表示，定义如下：
$W_c(t) = \int_{0}^{t} e^{A\tau}BB^T e^{A^T\tau} d\tau$
其中，$e^{A\tau}$ 是矩阵指数，表示状态转移矩阵。格拉姆矩阵是一个对称的半正定矩阵，它提供了关于系统可控性的重要信息。
可控性判据
基于可控性格拉姆矩阵，可以得到以下可控性判据：
- 系统是可控的，当且仅当可控性格拉姆矩阵 $W_c(t)$ 是正定的，即 $W_c(t)$ 的所有特征值都大于零。
- 或者，系统是可控的，当且仅当可控性格拉姆矩阵 $W_c(t)$ 的秩等于状态向量的维数 $n$，即 $rank(W_c(t)) = n$。
- 在实际应用中，计算 $W_c(t)$ 比较复杂，因此通常采用计算可控性矩阵的方法进行判断。可控性矩阵 $C$ 定义为：$C = [B, AB, A^2B, …, A^{n-1}B]$。系统是可控的，当且仅当可控性矩阵 $C$ 的秩等于状态向量的维数 $n$，即 $rank(C) = n$。
格拉姆矩阵的应用
可控性格拉姆矩阵除了用于判断系统的可控性外，还可以用于：
- 状态空间实现：在状态空间实现过程中，可以使用格拉姆矩阵来评估状态变量之间的相互作用，从而优化系统的实现。
- 模型降阶：格拉姆矩阵可以用于降阶模型，通过保留与系统输入和输出相关性较强的状态，降低模型的复杂性。
- 控制律设计：在设计控制律时，格拉姆矩阵可以用于计算状态反馈增益，从而实现对系统的控制。
结论
可控性格拉姆矩阵是控制理论中一个重要的概念，它提供了判断系统可控性的有效工具，并可用于状态空间实现、模型降阶和控制律设计等多个方面。理解和应用格拉姆矩阵对于分析和设计控制系统至关重要。