定义
设 X 是一个集合， p 是 X 中的一个特定点。X 上的特定点拓扑定义为：一个子集 U 是 X 的开集，当且仅当 U 包含 p。换句话说，只有包含 p 的集合才是开集，或者空集也是开集。因此，在特定点拓扑中，开集是那些包含特定点 p 的集合和空集的集合。
性质
- 开集： 任何包含 p 的集合以及空集都是开集。
- 闭集： 任何不包含 p 的集合以及全集 X 都是闭集。
- 紧致性： 在特定点拓扑中，只有有限集合才是紧致的。如果一个开覆盖包含了 p，那么这个开覆盖本身就是一个有限覆盖。
- 连通性： 这种拓扑通常是不连通的，除非 X 只有一个元素，或者 X 是空集。
- T0, T1, T2 分离公理：特定点拓扑通常不满足 T1 分离公理，因此也不满足 T2 分离公理（Hausdorff 分离公理）。但它可以满足 T0 分离公理。
示例
假设 X = {a, b, c}，且 p = a。那么在特定点拓扑中，开集是：{}，{a}，{a, b}，{a, c}，{a, b, c}。 闭集是：{b, c}，{b}，{c}，{}，{a, b, c}。
应用
特定点拓扑主要用于作为反例，以说明拓扑性质。 例如，它可以用来证明某个定理在特定条件下不成立，或者证明某个性质不是拓扑不变量。由于其简单性，它使得数学家能够构造出满足特定条件的拓扑空间，从而检验和验证拓扑学中的各种概念。
与离散拓扑和平凡拓扑的比较
特定点拓扑介于离散拓扑和平凡拓扑之间。
离散拓扑中，所有的子集都是开集。 这提供了最大的开放性。
平凡拓扑（或称贫乏拓扑）中，只有空集和全集是开集。 这提供了最小的开放性。
特定点拓扑则介于这两者之间，提供了适度的开放性，其开集仅限于包含特定点的集合（或空集）。
结论
特定点拓扑是一个重要的拓扑学示例，它展示了如何在集合上定义拓扑结构。 它的定义相对简单，但可以用来展示各种拓扑性质，并作为其他拓扑概念的参考。 它在构建反例和理解拓扑学概念方面发挥着重要作用，对于理解更复杂的拓扑空间至关重要。