定理陈述
Fulton–Hansen 连通性定理的基本陈述如下：设 X 和 Y 是域 k 上的代数簇，且 f: X → Y 是一个态射。如果对于每个点 y ∈ Y，纤维 f-1(y) 的不可约分支的维数至多为 dim(X) – dim(Y)，那么 f(X) 是连通的。
定理的意义
该定理的主要意义在于，它提供了一个简洁而有力的工具来研究代数簇在映射下的几何性质。通过考察映射的纤维的维数，可以推断出像的连通性。这在研究代数簇的结构和分类时非常有用。例如，可以利用该定理来证明某些映射的像必须是连通的，或者来分析代数簇在某种映射下的行为。
应用举例
Fulton–Hansen 连通性定理在多个领域都有应用。例如，在研究代数簇的自同构群时，该定理可以用来确定自同构群的连通性。在研究代数簇的覆盖时，也可以利用该定理来分析覆盖映射的性质。此外，该定理还被用于研究代数簇的奇点和切锥。
一个重要的应用是在证明关于线性系统的连通性结果。考虑一个从一个代数簇到射影空间的态射，该定理可以用于证明该态射的像的连通性，前提是纤维的维数满足一定条件。
与相关定理的联系
Fulton–Hansen 连通性定理与许多其他的代数几何定理密切相关。例如，它与Serre的GAGA定理（GAGA: Géométrie Algébrique et Géométrie Analytique）相关，GAGA定理描述了代数几何与复几何之间的关系。此外，该定理也与Bertini定理有关，Bertini定理研究了代数簇与一般超平面的交集。
另一个相关的概念是连通性定理的推广，例如Grothendieck的连通性定理。这些推广拓展了Fulton–Hansen定理的应用范围，使其能够处理更广泛的代数几何问题。
结论
Fulton–Hansen 连通性定理是代数几何中一个重要的基本结果。它提供了判断代数簇映射下像的连通性的有力工具。该定理的简洁性和普遍性使其在代数几何的研究中具有广泛的应用，并与其他重要定理紧密相连，共同构成了代数几何理论的基础。
参考资料
- Hartshorne, Robin. *Algebraic Geometry*. Graduate Texts in Mathematics, No. 52. Springer-Verlag, 1977.
- Fulton, William; Hansen, Johan. *A connectedness theorem for projective varieties, with applications to intersections and singularities of maps*. Ann. of Math. (2) 110 (1979), no. 1, 159–166.
- Voisin, Claire. *Hodge theory and complex algebraic geometry, Vol. I*. Cambridge University Press, 2002.
- Griffiths, Phillip; Harris, Joseph. *Principles of Algebraic Geometry*. Wiley-Interscience, 1978.