戴德金 eta 函数 (Dedekind eta function)
戴德金 eta 函数，通常记作 η(τ)，是定义在复上半平面上的一个函数，其中 τ 是复数，且其虚部大于零。这个函数在数论和数学物理学中有着广泛的应用，尤其是在模形式的研究中。它可以通过一个无限乘积来定义：
η(τ) = q^(1/24) * ∏(n=1到∞) (1 – q^n)，其中 q = e^(2πiτ)
这个函数的特殊之处在于它与模形式理论的深刻联系。 η(τ) 的 24 次方是一个模形式，这使得它在数论中具有重要的地位。它与椭圆函数、分拆函数以及其他重要的数学对象之间存在着复杂而有趣的联系。
戴德金 psi 函数 (Dedekind psi function)
戴德金 psi 函数，记作 ψ(n)，是定义在正整数上的一个函数。它表示的是 n 的所有除数的和，其中除数是正整数。对于一个正整数 n，ψ(n) 定义如下:
ψ(n) = n * ∏(p|n) (1 + 1/p)，其中 p 是 n 的素数因子
这个函数在数论中扮演着重要的角色，尤其是在研究整数的性质时。例如，它与完美数和盈数有着紧密的联系。
戴德金 zeta 函数 (Dedekind zeta function)
戴德金 zeta 函数，记作 ζK(s)，是定义在代数数域 K 上的一个函数。它推广了黎曼 zeta 函数，并提供了关于数域算术性质的深刻信息。对于复数 s，其定义如下：
ζK(s) = ∑(I) (N(I))^(-s)，其中 I 是 K 的所有理想，N(I) 是理想 I 的范数。
戴德金 zeta 函数的研究是代数数论的核心部分。它与数域的类数、单位群以及其他代数不变量密切相关。戴德金 zeta 函数的解析性质，例如它的函数方程和零点分布，是数论研究的重要课题。
结论
戴德金函数涵盖了数论中重要的几个函数，每个函数都在各自的领域内扮演着关键的角色。戴德金 eta 函数在模形式理论中占据核心地位；戴德金 psi 函数提供了关于整数性质的深刻见解；而戴德金 zeta 函数则为数域的算术研究提供了重要的工具。这些函数体现了理查德·戴德金在数学领域的巨大贡献，并持续推动着数论的发展。