基本概念
亚纯函数是指在复平面上除了有限个极点外都全纯的函数。一个有理函数可以写成两个多项式的比值，例如 f(z) = P(z)/Q(z)，其中 P(z) 和 Q(z) 都是多项式。当 Q(z) 具有不同的线性因子时，部分分式分解允许我们将 f(z) 分解为更简单的有理函数之和。
分解方法
对于一个有理函数 f(z) = P(z)/Q(z)，其中 Q(z) 可以分解为不同的线性因子 (z – a)，部分分式分解可以表达为以下形式：
f(z) = Σ [Ai / (z – ai)] + G(z)
其中，Ai 是常数，ai 是 Q(z) 的根，G(z) 是一个多项式（如果 P(z) 的阶数大于或等于 Q(z) 的阶数）。这个分解简化了许多操作，比如计算积分。
应用
部分分式分解在复分析中有广泛的应用：
- 积分计算： 将复杂的有理函数分解为简单的分式后，可以更容易地计算积分。例如，计算一个有理函数的柯西积分。
- 留数计算： 部分分式分解与留数理论紧密相关。通过分解，可以更容易地找到函数的极点和留数，从而计算积分。
- Laplace变换： 部分分式分解在 Laplace 变换中也非常有用，尤其是在将有理函数分解为更简单的形式时。
- 求解微分方程： 在求解线性常系数微分方程时，部分分式分解可以帮助找到解的表达式。
推广
部分分式分解可以推广到处理具有重复根的情况。如果 Q(z) 包含重复的根，则分解的形式会稍有不同，涉及 (z – a) 的不同次幂。
例如，如果 Q(z) = (z – a)n，那么相应的分解会包含项 A1/(z-a) + A2/(z-a)2 + … + An/(z-a)n。
此外，部分分式分解的概念也可以推广到其他类型的函数，比如在考虑有理函数在复平面上的无穷远点处的行为时。
结论
部分分式分解是复分析中一个强大的工具，它简化了处理有理函数的过程。通过将复杂的函数分解为更简单的部分，我们可以更容易地进行积分、计算留数、处理 Laplace 变换和求解微分方程。这项技术是复分析中许多重要理论和应用的基础。