基本概念
考虑一个流形 M 和一个李群 G。设 φ: M → G 是一个映射。达布导数，通常表示为 Dφ，它将 M 上的每个切向量 X 映射到李群 G 的李代数 g 中。 换句话说，达布导数度量了映射 φ 在 M 的切方向上的变化率，并将此变化表示为李群 G 对应的李代数中的元素。
定义与计算
达布导数的具体定义和计算方式取决于所使用的坐标系。一般而言，可以将李群 G 嵌入到某个向量空间中。在这种情况下，对于 M 上的切向量 X，可以通过以下方式定义达布导数：
Dφ(X) = (dφ/dX)φ-1
其中 dφ/dX 是 φ 在 X 方向上的普通导数，而 φ-1 表示 φ 的逆映射。计算达布导数需要了解映射 φ 的具体形式和李群 G 的结构。
重要性质
- 不变性：达布导数在李群的左乘下是不变的。这意味着对于李群 G 中的元素 g，D(gφ) = Adg(Dφ)，其中 Adg 是李群 G 的伴随表示。
- 协变性：达布导数在流形 M 的坐标变换下具有协变性，这意味着其变换规则与张量的变换规则一致。
- 应用：达布导数在研究曲面论、规范场论和物理学中具有重要作用。例如，在曲面论中，达布导数可以用来描述曲面的主方向和主曲率；在规范场论中，达布导数与规范势相关联。
应用场景
达布导数在多个领域都有应用：
- 微分几何： 用于分析流形到李群的映射，例如曲面的嵌入。
- 物理学： 在规范场论中，达布导数与规范势密切相关，描述了规范场的性质。
- 控制理论： 在控制系统的分析中，达布导数可以用于研究系统的动力学行为。
结论
达布导数是微分几何和李群理论中的一个重要概念，它提供了一种将导数与李群结构联系起来的方式。通过研究映射在不同切向量上的变化率，达布导数揭示了映射的几何性质，并在多个领域具有广泛的应用。 了解达布导数的性质和计算方法，有助于深入理解流形和李群之间的复杂关系。