定义与基本概念
一个 PROP 类似于一个更一般的幺半范畴，但它有额外的结构限制。首先，其对象必须是自然数，从0开始。这自然地对应于某些结构的“输入”或“输出”的数量。其次，PROP 必须配备一个幺半积，通常用符号 ⊗ 表示，该积定义了如何“组合”对象。例如，如果 m 和 n 都是对象（即自然数），那么 m ⊗ n 也是一个对象。更重要的是，PROP 必须是严格的，这意味着幺半积必须满足结合律，并且不需要任何同构。此外，PROP 还是对称的，这意味着存在一个自然的同构，用于交换幺半积中元素的顺序。
结构与应用
PROP 的结构允许我们形式化许多代数结构。例如，我们可以使用 PROP 来描述布尔逻辑中的逻辑门。在这种情况下，对象的自然数可以代表逻辑门的输入和输出的数量，态射则代表逻辑门本身。张量积对应于并行组合逻辑门，而态射的组合代表逻辑门的串行连接。
PROP 也广泛应用于线性代数。例如，有限维向量空间的张量积和线性映射可以表示为一个 PROP。在这种情况下，对象的自然数代表向量空间的维度，态射代表线性变换。通过 PROP，我们可以以一种非常简洁的方式来表达复杂的线性代数运算。
核心特性：对称性
对称性是 PROP 的一个关键特征。对称性意味着对于任何对象 m 和 n，都存在一个态射，称为“交换”，它将 m ⊗ n 映射到 n ⊗ m。这个态射满足某些一致性条件，例如，当交换两次时，它必须恢复到原始态射。对称性反映了我们对交换某些操作顺序并不改变其整体结果的直觉。例如，在布尔逻辑中，交换两个输入到 AND 门的结果，并不会改变输出结果。
PROP 的重要例子
- 集合范畴的笛卡尔积：这里的对象是自然数，态射是函数的“组合”。
- 向量空间的张量积：对象是自然数（代表维度），态射是线性映射。
- 逻辑电路：自然数代表输入和输出的个数，态射代表逻辑门。
结论
PROP 是一个强大的数学工具，它提供了一种统一的框架来描述各种代数结构。通过关注对象之间的关系，PROP 简化了对复杂结构的分析，并在不同的数学领域之间建立了桥梁。它在理论计算机科学、代数拓扑和逻辑等领域具有重要的应用。