定义与概念
更精确地说，一个以十进制表示的数被称为n-寄生数，如果它乘以n后，得到的结果是原始数的所有数字循环移位后的一个排列。例如，142857就是一个1-寄生数，因为 142857 × 1 = 142857。但是，更有趣的例子是，142857也是一个2-寄生数，因为142857 × 2 = 285714，其中数字的排列顺序发生了循环移位。
这个概念可以扩展到其他进制系统。例如，在二进制中也可以找到寄生数，尽管它们的特性和表现形式会略有不同。
寄生数的特性
寄生数具有一些独特的数学特性。其中，最著名的是，它们往往与循环单位有关，即由一系列1组成的数字，如1、11、111等。例如，142857 × 3 = 428571， 142857 × 4 = 571428，142857 × 5 = 714285，142857 × 6 = 857142。可以看到，乘以不同的数字，产生的结果仍然是142857的循环移位。
寄生数通常是无限循环小数的分母的倒数。 1/7 = 0.142857 142857…，循环节就是142857。 这与费马小定理和群论中的循环群有着紧密的联系。
寻找寄生数
寻找寄生数并非易事，需要经过一定的数学运算和检验。一般而言，可以通过以下方法：
- 首先确定一个数字n，也就是要寻找的寄生数乘以的那个数。
- 然后，开始尝试不同的数字，将它们乘以n。
- 检查结果是否为原始数字的循环移位。
- 重复上述步骤，直到找到符合条件的数字。
当然，随着数字的增大，寻找寄生数也变得越来越困难，通常需要借助计算机程序来辅助计算。
实例与应用
142857是最著名的寄生数之一，它还有一些有趣的性质。例如，将142857乘以1到6之间的任何整数，得到的结果仍然是142857的循环移位。而将142857乘以7，得到的结果是999999。这展现了寄生数在数学上的特殊性。
虽然寄生数在日常生活中并不常见，但在密码学、数字信号处理等领域，它们的数学特性可能会被用于某些特定的算法和应用中。
结论
寄生数是一种独特的数学现象，它们以其独特的性质吸引了数学家和数学爱好者的注意。虽然它们在实际应用中并不广泛，但它们揭示了数论中一些有趣的规律，为我们理解数字的本质提供了新的视角。它们的存在也提醒我们，看似简单的数学概念，往往蕴含着丰富的内涵和深奥的原理。