背景与动机
瞬子是规范场论中具有有限作用的自对偶或反自对偶解，它们在量子色动力学中发挥着关键作用。寻找瞬子解是理解强相互作用的重要一步。ADHM 构造提供了一种系统的方法，能够生成所有可能的瞬子解，而无需直接求解复杂的非线性偏微分方程。该构造利用了代数几何和线性代数的技巧，将非线性问题转化为线性问题。
构造方法
ADHM 构造的核心在于将瞬子方程转化为一系列线性代数条件。其基本思想是将瞬子解参数化为一些线性数据，这些数据由矩阵组成。具体来说，构造依赖于四个矩阵：
A, B, I, J。
- A 和 B：大小为 n x k 的复矩阵。
- I 和 J：维度分别为 k x k 和 n x n 的矩阵，满足特定的代数关系。
这些矩阵满足一系列代数方程，这些方程代表了瞬子方程的代数化。通过求解这些方程，可以得到与瞬子对应的规范势。
数学细节
更详细地说，ADHM 构造涉及到以下几个关键步骤：
- 定义 ADHM 数据：选取矩阵 A, B, I, J ，它们满足一些特定的代数关系，例如，它们必须满足一个超凯勒条件。
- 构造瞬子：利用这些矩阵，可以构造出与瞬子对应的规范势。
- 检验自对偶性：确保构造出的规范势是自对偶的，即满足瞬子方程。
构造的结果是与每个 ADHM 数据集相关联的瞬子解。不同 ADHM 数据集之间的等价关系给出了瞬子的模空间，该空间描述了给定拓扑荷的瞬子解的参数化。
应用
ADHM 构造在多个领域都有重要的应用：
- 规范场论：用于研究规范场论中的瞬子，计算它们的模空间，以及研究相关的量子效应。
- 弦理论：在弦理论中，瞬子作为D-膜的解发挥作用。
- 数学物理：用于研究其他类型的单极子解，比如磁单极子。
该构造方法提供了对物理问题的深刻理解，促进了数学家和物理学家之间的合作。
结论
ADHM 构造是数学物理学和规范场论中一种强大的技术，用于构建和分类瞬子。它将复杂的非线性微分方程问题转化为线性代数问题，从而极大地简化了分析。该构造方法揭示了瞬子的几何结构，并在多个领域都有广泛的应用。ADHM 构造不仅是理论工具，也为我们理解量子场论和弦理论提供了重要的洞见。