定义与基本概念
设 R 是一个环， M 是一个 R-模。如果存在一个元素 m \in M，使得对于任意的 x \in M，都存在 r \in R，满足 x = rm，那么 M 就是一个循环模。元素 m 称为 M 的生成元。我们通常将循环模表示为 Rm 或 <m>，表示由 m 生成的模。
一个环 R 上的循环模与 R 的理想之间存在密切的联系。具体来说，对于每一个循环模 Rm，都存在一个理想 I = \{ r \in R \mid rm = 0 \}，被称为 m 的零化子。那么，Rm 同构于商环 R/I。这个同构关系为研究循环模的结构提供了重要的工具。
性质
循环模具有许多重要的性质。例如：
- 子模：循环模的子模也是循环模。
- 商模：循环模的商模也是循环模。
- 直和分解：循环模不一定是可分解的，但这取决于环的性质。
这些性质使得循环模在模理论的许多证明中发挥着重要作用。特别地，对于主理想环（PID）上的模，所有子模都是循环模，这极大地简化了模的结构分析。
例子
以下是一些循环模的例子：
- 整数环 \mathbb{Z} 上的循环模：任何由单个整数生成的模，例如 n\mathbb{Z}，都为循环模。
- 域上的向量空间：由于每个向量空间都可以被单个向量生成，因此所有域上的向量空间都是循环模。
- 循环群：有限循环群可以被视为 \mathbb{Z} 上的循环模。
循环模的概念不仅出现在抽象代数中，还在其他数学分支中有所应用，例如线性代数和群论。
结论
循环模是环论中一个基础而重要的概念。它提供了一种研究模结构的方法，并且在理解模的性质和分类方面起着关键作用。通过研究循环模，我们可以更好地理解环的结构以及模之间的关系。掌握循环模的定义、性质和例子，对于深入学习模理论至关重要。