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算术几何平均数 (Arithmetic–geometric mean)

• 平均数, 数值计算, 数学分析, 椭圆积分, 算术几何平均数

定义

给定两个正实数 a 和 b，定义如下序列:

  • a0 = a
  • b0 = b
  • an+1 = (an + bn) / 2
  • bn+1 = √(an * bn)

其中 n ≥ 0。序列 an 和 bn 将收敛于一个共同的极限，这个极限就是 a 和 b 的算术几何平均数，记作 M(a, b)。

性质

算术几何平均数具有许多重要的性质。首先，它是对称的，即 M(a, b) = M(b, a)。其次，它是单调的，即如果 a < c 且 b < d，则 M(a, b) < M(c, d)。再次，它具有齐次性，即对于任意正实数 t，M(ta, tb) = tM(a, b)。

计算方法

虽然算术几何平均数的定义涉及无限序列的极限，但在实践中，可以通过迭代计算快速逼近。由于序列 an 和 bn 快速收敛，只需迭代几次就能得到很高的精度。这种快速收敛的性质使得算术几何平均数在数值计算中非常有用，尤其是在计算椭圆积分等问题时。

应用

算术几何平均数在数学和物理学中有广泛的应用。在数学中，它与椭圆积分、椭圆函数等密切相关。例如，算术几何平均数可以用来高效地计算椭圆积分的值。在物理学中，它出现在某些物理模型的分析中，例如计算电磁场和静电势等。

此外，算术几何平均数还与算术-几何不等式有关，即对于任意正实数 a 和 b，几何平均数小于或等于算术平均数，即 √(ab) ≤ (a+b)/2。算术几何平均数的收敛性质为证明这一不等式提供了另一种方法。

算法

计算算术几何平均数通常需要使用迭代算法。该算法的步骤如下：

  1. 给定两个正实数 a 和 b。
  2. 初始化 a0 = a 和 b0 = b。
  3. 重复以下步骤直到达到所需的精度：
    1. 计算 an+1 = (an + bn) / 2。
    2. 计算 bn+1 = √(an * bn)。
  4. 算术几何平均数 M(a, b) 的值近似于 an 和 bn 的共同极限。

由于序列 an 和 bn 以指数速率收敛，因此只需几次迭代就可以获得高精度的结果。迭代次数越多，结果越精确。

结论

算术几何平均数是一个重要的数学概念，它连接了算术和几何平均数，并在多个领域中具有应用。其独特的性质和快速收敛的特性使其成为数值计算的有力工具。从数学理论到物理学应用，算术几何平均数都展现了其重要的实用价值和理论意义。

参考资料