算法原理
内维尔算法的核心思想是构建一个三角形的计算表。表的每一行都代表一个多项式，该多项式穿过给定数据点的一个子集。该算法利用了递归的性质，允许通过组合较低阶的多项式来计算较高阶的多项式。这显著减少了计算量，避免了直接解线性方程组的需要。
对于给定的数据点集 (xi, yi)，其中 i = 0, 1, …, n，内维尔算法首先构建零阶多项式 Pi,0(x) = yi。然后，它使用这些值计算一阶多项式 Pi,1(x)，这些多项式通过两个相邻的数据点。对于更高阶的多项式，算法使用以下递推关系：
Pi,k(x) = ((x – xi-k)Pi,k-1(x) – (x – xi)Pi-1,k-1(x)) / (xi – xi-k)
其中 k = 1, 2, …, n，并且 i = k, k+1, …, n。最终，Pn,n(x) 将是穿过所有数据点的 n 阶多项式。
算法优势
易于实现： 相对于其他插值方法，内维尔算法的实现相对简单，这使得它在实际应用中具有优势。
无需解线性方程组： 避免了直接求解多项式系数，减少了计算复杂度和时间。
动态计算： 如果需要添加新的数据点，可以相对容易地更新计算结果，而无需重新计算整个插值。
数值稳定性： 在一定程度上，内维尔算法对于输入数据的微小变化具有一定的稳定性，能够提供相对准确的插值结果。
算法应用
内维尔算法在多个领域都有应用，特别是在需要快速、准确地计算插值的场景中。 常见应用包括：
- 科学计算： 用于函数逼近、数值积分和微分等。
- 数据可视化： 在绘制曲线和图形时，可以用于平滑数据并进行插值。
- 工程应用： 例如，在信号处理、图像处理等领域中，用于重建或估计缺失的数据点。
算法限制
尽管内维尔算法具有许多优点，但它也有一些局限性：
- 计算量： 随着数据点数量的增加，计算量也会增加，尤其是对于高阶多项式。
- 龙格现象： 当使用高阶多项式插值时，可能会出现龙格现象，即在插值区间边缘出现剧烈振荡。
- 对异常值敏感： 内维尔算法对数据中的异常值比较敏感，异常值可能会显著影响插值结果。
结论
内维尔算法是一种高效且实用的多项式插值方法，适用于各种需要快速、准确地计算插值的场景。它避免了直接求解多项式系数的复杂性，简化了计算过程。虽然它存在一些限制，如计算量和龙格现象等，但它仍然是数值分析领域的重要工具之一。其易于实现和动态计算的特点使其在多个领域得到广泛应用。