定义
一个图的路径分解定义为将图的顶点划分为一个序列，序列中的每个元素被称为一个“袋子”。这些袋子需要满足一定的条件，以确保它们“构成”一个路径图的结构。
- 每个顶点都必须包含在至少一个袋子中。
- 对于每一条边，其两个端点都必须同时存在于至少一个袋子中。
- 如果一个顶点出现在袋子i和袋子k中，那么它也必须出现在袋子i和k之间的所有袋子中。
路径宽度定义为路径分解中最大的袋子的大小减一。换句话说，路径宽度是路径分解中袋子所包含的最大顶点数量减一。
路径分解的性质
路径分解的一个关键性质是，它可以将复杂的图结构分解为更简单的、类似于路径的结构。这使得我们可以利用路径图的性质来设计解决图问题的算法。例如，许多NP难问题，例如最大独立集或最小顶点覆盖问题，在路径宽度有限的图上可以有效地求解。
与树宽度的关系
路径宽度是树宽度的自然推广。树宽度衡量了图“类似于”树的程度，而路径宽度衡量了图“类似于”路径的程度。每一个树宽度为k的图的路径宽度最多为k，因为路径也是一种特殊的树。
虽然树宽度和路径宽度都属于图的宽度参数，但它们的计算复杂度和应用场景有所不同。树宽度更侧重于图的整体层次结构，而路径宽度更侧重于图的线性结构。
应用
路径宽度在算法设计中有着广泛的应用。特别是，对于路径宽度有限的图，我们可以设计有效的算法来解决许多NP难问题。以下是一些具体的应用场景：
- VLSI设计: 路径宽度可以用于优化电路布局，减少电路的布线拥堵。
- 计算生物学: 路径宽度可以用于分析生物序列，例如蛋白质结构预测。
- 数据库查询优化: 在数据库查询优化中，路径宽度可以用来优化连接操作的顺序。
计算路径宽度
计算任意图的路径宽度是一个NP完全问题。这意味着，目前没有已知的多项式时间算法能够计算任意图的精确路径宽度。然而，对于路径宽度有限的图，存在一些有效的算法可以近似计算路径宽度，或者找到一个“接近最优”的路径分解。
结论
路径宽度是一种重要的图论参数，它衡量了图“类似于”路径图的程度。它在算法设计中扮演着重要的角色，尤其是在处理路径宽度有限的图时，可以实现高效的算法。虽然计算路径宽度本身是NP难问题，但在实际应用中，我们仍然可以利用路径宽度来优化算法的性能，解决各种复杂的问题。