定义与构造
范畴 C 的神经 N(C) 是一个单纯集合，其组成由以下方式定义：对于每个非负整数 n，N(C) 的 n-单形是 C 的所有长度为 n 的态射序列。例如，0-单形是 C 的对象，1-单形是 C 的态射，2-单形是 C 的所有形如 f → g 的图表，其中 f 和 g 是 C 中的态射。
具体来说，对于每个 n ≥ 0，N(C) 的 n-单形由一个态射序列组成：
x₀ → x₁ → x₂ → … → xₙ
其中，xᵢ 是 C 的对象，而态射 xᵢ → xᵢ₊₁ 是 C 中的态射。
边界算子和退化算子定义了单纯集合的结构，它们对应于在态射序列中组合态射和插入恒等态射的操作。
重要性与应用
神经构造为范畴论提供了一种将其与拓扑学联系起来的方式。特别是，如果 C 是一个拓扑范畴，则 N(C) 可以视为一个拓扑空间，从而可以通过其同伦理论来研究。这在研究模型的类别时非常有用，例如，对于一些模型范畴，可以将模型类别与单纯集合之间建立联系，从而允许将拓扑技术应用于范畴论的框架中。
神经构造也与函子范畴密切相关。函子范畴由两个范畴之间的函子组成。范畴的神经为我们提供了一种对函子范畴进行研究的工具，允许我们将函子视为单纯集合的态射。这使得我们可以使用拓扑学中的技术来分析函子范畴的性质，例如研究函子的同伦理论。
例子
一个简单的例子是，考虑一个范畴，它的对象是点，态射是点之间的路径。这个范畴的神经可以被认为是一个拓扑空间，它将这些路径组合在一起，形成了更复杂的结构。另一个例子是，考虑一个离散范畴，这意味着所有的态射都是恒等态射。在这种情况下，神经的 n-单形只由恒等态射组成，使得神经成为一个离散单纯集合。
更一般地说，神经构造允许我们研究更复杂的范畴，例如，富含范畴的神经，这是基于富含范畴的更一般的构造。这些富含范畴与拓扑空间、图论等相关，并且通过神经构造提供了进一步的抽象和研究工具。
结论
范畴论中的神经是一种强大的工具，用于将范畴转化为拓扑对象，从而允许使用拓扑学的技术来研究范畴。它为范畴论和拓扑学之间的联系提供了桥梁，在研究高维范畴、模型类别和函子范畴方面发挥着重要作用。通过神经构造，数学家可以深入探索范畴的结构性质，并将其应用于广泛的数学问题中。