基本概念
设 H 是一个希尔伯特空间，T 是定义在 H 中的稠密集 D(T) 上的一个线性算子。T 的伴随算子，记为 T*，定义如下：对所有 y ∈ H，如果存在 x ∈ D(T) 使得 (Tx, y) = (x, y*)，那么 y* 属于 H。伴随算子是唯一确定的，它的定义域 D(T*) 由满足此条件的 y 组成。这里，(·, ·) 表示希尔伯特空间的内积。
伴随算子的存在性和性质
并非所有算子都有伴随算子。一个算子 T 拥有伴随算子的一个充分必要条件是，T 的图象是闭的。此外，如果 T 是稠密定义，那么它的伴随算子 T* 也将是稠密定义的。伴随算子拥有许多重要的性质：
- 自伴算子： 如果一个算子 T 等于其伴随算子 T*，即 T = T*，则称 T 为自伴算子。自伴算子在量子力学中代表可观测量，具有重要的物理意义。
- 对称算子： 如果 (Tx, y) = (x, Ty) 对所有 x, y ∈ D(T) 都成立，则称 T 为对称算子。自伴算子是对称算子，但反之不一定成立。
- 闭算子： 如果算子的图象是闭集，则称该算子为闭算子。伴随算子一定是闭算子。
应用
伴随算子的概念广泛应用于以下领域：
- 量子力学： 在量子力学中，哈密顿算子（表示系统的总能量）通常是无界自伴算子。伴随算子理论为研究量子系统的性质提供了数学框架。
- 偏微分方程： 伴随算子被用于研究偏微分方程的解的存在性、唯一性和稳定性。特别是，它可以帮助分析算子的谱。
- 泛函分析： 伴随算子是泛函分析中的一个基本工具，用于研究算子的结构和性质，以及希尔伯特空间上的算子代数。
结论
伴随算子是泛函分析和数学物理学中的一个重要概念，特别是在处理无界算子时。它为研究量子力学、偏微分方程等领域的算子提供了强大的分析工具。理解伴随算子的定义、性质及其应用，对于深入研究这些领域至关重要。