定义
设 X 是一个拓扑空间。如果存在一列紧致子集 {Kn}n=1∞ 满足：
- 对于每个 n，Kn 是 X 的一个紧致子集。
- 对于 X 中的每个紧致子集 K，都存在某个 n，使得 K ⊆ Kn。
那么，拓扑空间 X 就是一个半紧致空间。这列紧致子集 {Kn} 被称为 X 的一个半紧致序列。
基本性质
半紧致空间具有一些重要的性质，这些性质使其在拓扑学的研究中具有一定的地位。了解这些性质有助于理解半紧致空间与其他拓扑概念之间的关系。
局部紧致性
半紧致空间与局部紧致空间有着密切的联系。事实上，每个局部紧致、可数空间都是半紧致的。这是因为在局部紧致空间中，每个点都存在一个紧致邻域。如果一个局部紧致空间是可数的，那么我们可以构造一个半紧致序列。
可分性与第二可数性
许多半紧致空间也是可分的，或者具有第二可数性。例如，欧几里得空间 ℝn 是一个半紧致空间，并且是可分的。值得注意的是，可分性和第二可数性并不总是与半紧致性相关联，这取决于具体的拓扑空间。
应用
半紧致空间的概念在泛函分析和拓扑学中都有应用。它们经常出现在研究函数空间的紧致性性质，以及度量空间的性质中。特别是在研究非局部紧致空间时，半紧致性提供了一种有用的方法来分析空间的紧致性属性。
举例
一个典型的半紧致空间的例子是欧几里得空间 ℝn。我们定义 Kn 为一个闭球，其中心为原点，半径为 n。每个 Kn 都是 ℝn 的一个紧致子集。对于 ℝn 中的任何一个紧致子集 K，存在一个足够大的 n，使得 K 包含在 Kn 中。因此，ℝn 是一个半紧致空间。
再举一例，任何紧致空间都是半紧致的。因为其本身就是一个紧致子集，半紧致序列可以定义为该紧致空间本身。
结论
半紧致空间是一种重要的拓扑空间，它在拓扑学和相关的数学领域中有着广泛的应用。理解半紧致空间的定义、性质和例子，对于深入研究拓扑学的相关问题至关重要。它为研究非紧致空间的紧致性性质提供了一种有力的工具。半紧致性概念提供了一种方法来研究拓扑空间中紧致性的分布和特征，并有助于理解各种数学结构的行为。