定义与特性
更具体地说，一个拓扑空间 X 是局部豪斯多夫空间，如果对于 X 中的每个点 x，都存在一个开集 U，使得 x ∈ U，并且 U 是一个豪斯多夫空间。这意味着，对于 U 中的任意两个不同的点 y 和 z，都存在 U 中的不相交的开集 V 和 W，使得 y ∈ V 且 z ∈ W。豪斯多夫空间，也称为 T₂ 空间，是指对于空间中任意两个不同的点，都存在不相交的开集分别包含这两个点。
局部豪斯多夫空间的特性介于豪斯多夫空间和更一般的拓扑空间之间。它不像豪斯多夫空间那样要求整个空间满足分离公理，而是要求每个点“局部地”满足该性质。一个豪斯多夫空间必然是局部豪斯多夫空间，但反之则不然。
例子
以下是一些局部豪斯多夫空间的例子：
- 欧几里得空间：所有有限维欧几里得空间都是局部豪斯多夫空间，因为它们本身就是豪斯多夫空间。
- 离散空间：离散空间中的每个点都是一个开集，并且离散空间是豪斯多夫空间。
- 流形：流形是局部豪斯多夫空间，因为每个点都有一个同胚于欧几里得空间的开邻域。
需要注意的是，某些具有“病态”拓扑的拓扑空间可能不是局部豪斯多夫空间。
与其它拓扑性质的关系
局部豪斯多夫性质与分离公理密切相关。它比 T₀ 空间（Kolmogorov 空间）和 T₁ 空间（Fréchet 空间）更强，但不如豪斯多夫空间强。局部豪斯多夫空间不一定是正则空间或正规空间，但它们在拓扑研究中扮演着重要的角色。例如，在研究流形时，局部豪斯多夫性质是构建局部坐标系的关键。该性质也与紧性、连通性等拓扑性质相互作用，共同塑造了拓扑空间的结构。
结论
局部豪斯多夫空间是拓扑学中一类重要的拓扑空间，它在局部保持了豪斯多夫空间的特性，即每个点都有一个豪斯多夫开邻域。这种性质在流形理论和其他拓扑应用中具有重要的意义。理解局部豪斯多夫空间有助于我们更深入地理解拓扑空间的分离性质和结构。