定义和性质
一个拓扑空间 X 被称为实紧的，如果满足以下任一等价条件：
- X 是一个完全正则的豪斯多夫空间，且任何在 X 上定义的连续实值函数 f 都可以唯一地扩展到 X 的一个紧化空间 νX 上。其中，νX 被称为 X 的实紧化。
- X 是一个完全正则的豪斯多夫空间，并且对于 X 中任何包含于 X 中的闭集 F，如果存在一族连续实值函数 {fi}，使得 F 是 {fi} 的零集的交集，则 F 是由 X 中其他闭集的零集交集得出的。
实紧空间的概念与紧空间密切相关。所有紧空间都是实紧空间，但反之则不成立。实紧空间是比紧空间更广泛的一类空间，包含了许多重要的非紧空间，例如实数集 R。
与紧性的比较
紧空间的一个重要性质是，对于任何开覆盖，都存在一个有限子覆盖。实紧空间则不具备此性质，但它们保留了一些关键性质。例如，实紧空间的积空间不一定是实紧的，而紧空间的积空间仍然是紧的。
实紧空间与紧空间在连续函数的性质上有所相似。在紧空间中，任何连续函数都达到最大值和最小值。在实紧空间中，对于任何连续实值函数，其图像在 X 上是闭的，并且可以进行类似的分析。
应用
实紧空间在泛函分析、函数论和拓扑学中都有广泛的应用。例如，它们在研究 Banach 空间中的弱*拓扑时发挥重要作用。此外，它们在研究连续函数的性质，特别是函数在哪些空间上是“良好行为”的方面，具有重要的意义。
实紧空间也与 Stone-Čech 紧化密切相关。对于每个完全正则的豪斯多夫空间 X，存在一个唯一的 Stone-Čech 紧化 βX。X 的实紧化 νX 是 βX 的一个子空间，也是 X 的最大的实紧化。
结论
实紧空间是拓扑学中一类重要的空间，其介于紧空间和一般拓扑空间之间。它们拥有某些与紧空间类似的良好性质，并在泛函分析、函数论和拓扑学等领域有广泛的应用。理解实紧空间有助于我们更深入地了解拓扑空间的结构和性质。