基本定义和特性
更具体地说，一个拓扑空间 X 是伪正规的，如果对于 X 中的任何两个不相交的闭集 A 和 B，都存在开集 U 和 V，使得：
- A ⊆ U
- B ⊆ V
- U ∩ V = ∅
需要注意的是，伪正规性比正规性弱。正规空间要求对于任何两个不相交的闭集，都存在不相交的开集分别包含它们。伪正规性仅要求其中一个闭集包含在一个开集中，另一个闭集不与该开集相交。这使得伪正规空间具有一定的灵活性。
与其他拓扑空间的比较
伪正规空间与几种其他的拓扑空间有关，了解它们之间的关系有助于理解伪正规空间的特征。
- 正规空间： 所有正规空间都是伪正规的。但反之则不然。
- T1 空间： 每个伪正规空间都是 T1 空间。
- 完全正则空间： 完全正则空间一定是伪正规的，但伪正规空间不一定是完全正则的。
这些关系表明，伪正规性处于拓扑空间分离公理体系中的一个特定位置，提供了一种介于更强和更弱分离性质之间的平衡。
应用和意义
虽然伪正规空间在拓扑学研究中不像正规空间那样常见，但它们在某些特定情况下具有重要的意义。例如，它们在研究映射和连续性时起作用。伪正规性也与一些特殊的拓扑构造有关，如紧化和扩张，以及一些函数空间的研究。此外，对伪正规空间的研究有助于理解拓扑空间的整体结构和性质。
例子和反例
一个常见的例子是实数直线上的标准拓扑。实数直线上的任何两个不相交的闭集都可以被分离，因此它是一个伪正规空间。以下是一些例子：
- 任何具有有限点数的拓扑空间。
- 任何可度量空间。
- 任何正规空间。
另一方面，一些非正规的拓扑空间可能是伪正规的。例如，具有序拓扑的不可数集合，例如第一个不可数序数，就是一个伪正规的例子，但它不是正规的。
结论
伪正规空间是拓扑学中一类重要的拓扑空间，它介于正规空间和其他较弱的分离公理之间。它们在某些特殊情况下提供了一种有用的分离性质，并且与其他拓扑性质相关。虽然不如正规空间那样常见，但它们在拓扑学的研究中仍占有一席之地。